Трактат об электричестве и магнетизме

Точно так же для составляющих силы, действующей на 𝐸₁ по осям 𝑦 и 𝑧, получим

𝐵

=

∬

(

𝑙𝑝

_𝑥𝑦

+

𝑚𝑝

_𝑦𝑦

+

𝑛𝑝

_𝑧𝑦

)

𝑑𝑠

,

(17)

𝐶

=

∬

(

𝑙𝑝

_𝑥𝑧

+

𝑚𝑝

_𝑦𝑧

+

𝑛𝑝

_𝑧𝑧

)

𝑑𝑠

,

(18)

Если в действительности воздействие системы 𝐸₂ на 𝐸₁ происходит непосредственно на расстоянии, без вмешательства какой-либо среды, то величины 𝑝_𝑥𝑥 и т. д. должны рассматриваться как простые сокращённые обозначения определённых математических выражений, не имеющие никакого физического смысла.

Но если принять, что взаимодействие между 𝐸₂ и 𝐸₁ осуществляется посредством напряжений в среде между ними, то, поскольку уравнения (16), (17), (18) дают составляющие результирующей силы, обусловленной действием извне на поверхность 𝑠 напряжения, шесть компонент которого равны 𝑝_𝑥𝑥 и т.д., величины 𝑝_𝑥𝑥 и т. д. следует рассматривать как составляющие реально существующего в среде напряжения.

106. Чтобы получить более ясное представление о природе этого напряжения, изменим форму части поверхности 𝑠 так, чтобы элемент 𝑑𝑠 стал частью эквипотенциальной поверхности. (Такое изменение поверхности всегда допустимо, если только при этом не исключается какая-либо часть 𝐸₁ и не включается какая-либо часть 𝐸₂).

Обозначим через ν наружную нормаль к 𝑑𝑠. Пусть 𝑅=-(𝑑Ψ/𝑑ν) - напряжённость электрического поля в направлении ν, тогда (𝑑Ψ/𝑑𝑥)=-𝑅𝑙, (𝑑Ψ/𝑑𝑦)=-𝑅𝑚, (𝑑Ψ/𝑑𝑧)=-𝑅𝑛.

Таким образом, шесть составляющих напряжения равны

𝑝

_𝑥𝑥

=

1

8π

𝑅²(𝑙²-𝑚²-𝑛²)

,

𝑝

_𝑦𝑧

=

1

4π

𝑅²𝑚𝑛

,

𝑝

_𝑦𝑦

=

1

8π

𝑅²(𝑚²-𝑛²-𝑙²)

,

𝑝

_𝑧𝑥

=

1

4π

𝑅²𝑛𝑙

,

𝑝

_𝑧𝑧

=

1

8π

𝑅²(𝑛²-𝑙²-𝑚²)

,

𝑝

_𝑥𝑦

=

1

4π

𝑅²𝑙𝑚

.

Если 𝑎, 𝑏, 𝑐, - составляющие силы, действующей на единицу площади элемента 𝑑𝑠, то

𝑎

=

𝑙𝑝

_𝑥𝑥

+

𝑚𝑝

_𝑦𝑥

+

𝑚𝑧

_𝑧𝑥

=

1

8π

𝑅²𝑙

,

𝑏

=

1

8π

𝑅²𝑚

,

𝑐

=

1

8π

𝑅²𝑛

.

Таким образом, сила, с которой часть среды, расположенная по внешнюю сторону 𝑑𝑠, действует на часть среды, находящуюся по внутреннюю сторону 𝑑𝑠, нормальна к элементу площади 𝑑𝑠 и направлена наружу, т. е. является натяжением, подобным натяжению верёвки, и величина этой силы, приходящейся на единицу площади, равна 𝑅²/8π,

Пусть теперь элемент 𝑑𝑠 перпендикулярен пересекаемой им эквипотенциальной поверхности. В этом случае

𝑙

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑚

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝑛

𝑑Ψ

𝑑𝑧

=

0.

(19)

Далее:

8π

(

𝑙𝑝

_𝑥𝑥

+

𝑚𝑝

_𝑦𝑥

+

𝑛𝑝

_𝑧𝑥

)

=

𝑙

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

+

+

2𝑚

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

2𝑛

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑Ψ

𝑑𝑧

.

(20)

Умножив (19) на 2(𝑑Ψ/𝑑𝑥) и вычтя из (20), найдём

8π

(

𝑙𝑝

_𝑥𝑥

+

𝑚𝑝

_𝑦𝑥

+

𝑛𝑝

_𝑧𝑥

)

=-

𝑙

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

=

-𝑙𝑅²

.

(21)

Таким образом, составляющие натяжения, действующего на единицу площади элемента 𝑑𝑠 равны

𝑎

=-

1

8π

𝑅²𝑙

,

𝑏

=-

1

8π

𝑅²𝑚

,

𝑐

=-

1

8π

𝑅²𝑛

.

Таким образом, если элемент 𝑑𝑠 перпендикулярен эквипотенциальной поверхности, то действующая на него сила нормальна к поверхности, а численное значение силы, действующей на единицу площади, то же, что и в предыдущем случае, но направление её обратное - это не натяжение, а давление.

Итак, мы полностью определили характер напряжения в любой точке среды.

Направление электродвижущей напряжённости в точке является главной осью напряжения; напряжение в этом направлении носит характер натяжения, и его численное значение равно

𝑝=𝑅²/8π

,

(22)

где 𝑅 - электродвижущая напряжённость.

Любое направление, перпендикулярное этому, также является главной осью напряжения; напряжение вдоль такой оси носит характер давления, численная величина которого также равна 𝑝.

Определённое так напряжение - не самого общего вида, так как для него два главных значения напряжения равны друг другу, а третье - равно им численно, но отличается знаком.

Эти условия уменьшают число независимых переменных, определяющих напряжение, с шести до трёх; поэтому оно полностью определяется составляющими электродвижущей напряжённости -(𝑑Ψ/𝑑𝑥), -(𝑑Ψ/𝑑𝑦), -(𝑑Ψ/𝑑𝑧).

Три соотношения между шестью составляющими напряжения имеют вид

𝑝²

_𝑦𝑧

=

(𝑝

_𝑥𝑥

+𝑝

_𝑦𝑦

)

(𝑝

_𝑧𝑧

+𝑝

_𝑥𝑥

)

,

𝑝²

_𝑧𝑥

=

(𝑝

_𝑦𝑦

+𝑝

_𝑧𝑧

)

(𝑝

_𝑥𝑥

+𝑝

_𝑦𝑦

)

,

𝑝²

_𝑥𝑦

=

(𝑝

_𝑧𝑧

+𝑝

_𝑥𝑥

)

(𝑝

_𝑦𝑦

+𝑝

_𝑧𝑧

)

.

(23)

107. Посмотрим теперь, нуждаются ли полученные нами результаты в изменении в случае, когда конечное количество электричества сосредоточено на конечной поверхности, так что объёмная плотность заряда бесконечна на поверхности .

Как было показано в п. 78а, 786, в этом случае составляющие электродвижущей напряжённости разрывны на поверхности. Следовательно, и составляющие напряжения тоже разрывны на поверхности.

Пусть 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали к 𝑑𝑠; 𝑃, 𝑄, 𝑅 - составляющие электродвижущей напряжённости на той стороне, куда проведена нормаль, а 𝑃', 𝑄', 𝑅' - её составляющие с другой стороны.

Тогда, согласно 78а и 786

𝑃-𝑃'

=

4πσ𝑙

,

𝑄-𝑄'

=

4πσ𝑚

,

𝑅-𝑅'

=

4πσ𝑛

,

где σ - поверхностная плотность заряда.

Если 𝑎 - составляющая по оси х результирующей силы, действующей на единицу поверхности вследствие напряжений по обе стороны от неё, то

𝑎

=

𝑙(𝑝

_𝑥𝑥

-𝑝'

_𝑥𝑥

)

+

𝑚(𝑝

_𝑥𝑦

-𝑝'

_𝑥𝑦

)

+

𝑚(𝑝

_𝑥𝑧

-𝑝'

_𝑥𝑧

)

=

=

1

8π

𝑙{

(𝑃²-𝑃'²)

-

(𝑄²-𝑄'²)

-

(𝑅²-𝑅'²)}

+

+

1

4

𝑚

(𝑃𝑄-𝑃'𝑄')

+

1

4

𝑛

(𝑃𝑅-𝑃'𝑅')

=

=

1

8π

𝑙{

(𝑃-𝑃')(𝑃+𝑃')

-

(𝑄-𝑄')(𝑄+𝑄')

-

(𝑅-𝑅')(𝑅+𝑅')}

+

+

1

8π

𝑚{

(𝑃-𝑃')(𝑄+𝑄')

+

(𝑃+𝑃')(𝑄-𝑄')

}+

+

1

8π

𝑛{

(𝑃-𝑃')(𝑅+𝑅')

+

(𝑃+𝑃')(𝑅-𝑅')

}=

=

1

2

𝑙σ{

𝑙(𝑃+𝑃')

-

𝑚(𝑄+𝑄')

-

𝑛(𝑅+𝑅')

}+

+

1

2

𝑚σ{

𝑙(𝑄+𝑄')

+

𝑚(𝑃+𝑃')

}+

+

1

2

𝑛σ{

𝑙(𝑅+𝑅')

+

𝑛(𝑃+𝑃')

}=

1

2

σ(𝑃+𝑃')

.