Трактат об электричестве и магнетизме

Вдоль каждой из этих линий будем считать Ψ меняющимся от 1 на 𝑠₁ до 0 на 𝑠₀. Если 𝑃 - точка на одной из таких линий (а 𝑠₁ и 𝑠₀ - точки пересечения линии с поверхностями), то в качестве первого приближения можно положить Ψ₁=(𝑃𝑠₀/𝑠₁𝑠₀).

Таким образом, мы получаем первое приближение для функции Ψ₁ равной: единице на 𝑠₁ и нулю на 𝑠₀.

Рассчитанное по Ψ₁ значение 𝑊_φ больше, чем 𝑊.

Теперь примем в качестве второго приближения для силовых линий

ƒ

=

-𝑝

𝑑Ψ₁

𝑑𝑥

,

𝑔

=

-𝑝

𝑑Ψ₁

𝑑𝑦

,

𝘩

=

-𝑝

𝑑Ψ₁

𝑑𝑧

.

(10)

Вектор с составляющими ƒ, 𝑔, 𝘩 нормален поверхностям постоянного Ψ₁. Определим значение 𝑝, потребовав, чтобы вектор ƒ, 𝑔, 𝘩 был соленоидальным. Мы придём к соотношению

𝑝

⎛

⎜

⎝

𝑑²Ψ₁

𝑑𝑥²

+

𝑑²Ψ₁

𝑑𝑦²

+

𝑑²Ψ₁

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

+

+

𝑑𝑝

𝑑𝑥

𝑑Ψ₁

𝑑𝑥

+

𝑑𝑝

𝑑𝑦

𝑑Ψ₁

𝑑𝑦

+

𝑑𝑝

𝑑𝑧

𝑑Ψ₁

𝑑𝑧

=

0.

(11)

Если провести от 𝑠₁ к 𝑠₀ линию, всюду нормальную к поверхностям постоянного Ψ₁, и обозначить через 𝑠 длину, отсчитываемую от 𝑠₀ по этой линии, то

𝑅

𝑑𝑥

𝑑𝑠

=-

𝑑Ψ₁

𝑑𝑥

,

𝑅

𝑑𝑦

𝑑𝑠

=-

𝑑Ψ₁

𝑑𝑦

,

𝑅

𝑑𝑧

𝑑𝑠

=-

𝑑Ψ₁

𝑑𝑧

,

(12)

где 𝑅 - величина напряжённости, равная -𝑑Ψ₁/𝑑𝑠 так что

𝑑𝑝

𝑑𝑥

𝑑Ψ₁

𝑑𝑥

+

𝑑𝑝

𝑑𝑦

𝑑Ψ₁

𝑑𝑦

+

𝑑𝑝

𝑑𝑧

𝑑Ψ₁

𝑑𝑧

=

-𝑅

𝑑𝑝

𝑑𝑠

,

=

𝑅²

𝑑𝑝

𝑑Ψ₁

,

(13)

и уравнение (11) принимает вид

𝑝∇²Ψ

=

𝑅²

𝑑𝑝

𝑑Ψ₁

,

(14)

откуда

𝑝

=

𝐶 exp

Ψ₁

∫

0

∇²Ψ₁

𝑅²

𝑑Ψ

₁

,

(15)

где интеграл понимается как криволинейный интеграл вдоль линии 𝑠

Предположим теперь, что вдоль линии 𝑠

-

𝑑Ψ₂

𝑑𝑠

=

ƒ

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+

𝑔

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+

𝘩

𝑑𝑧

𝑑𝑠

,

=

-𝑝

𝑑Ψ₁

𝑑𝑠

.

(16)

Тогда

Ψ

₂

=

𝐶

Ψ

∫

0

⎛

⎜

⎝

exp

∫

∇²Ψ₁

𝑅²

𝑑Ψ

₁

⎞

⎟

⎠

𝑑Ψ

₁

,

(17)

где всегда подразумевается, что интегрирование производится вдоль линии 𝑠.

Остаётся определить постоянную 𝐶 из условия, что Ψ₂=1 на 𝑠₁ когда и Ψ₁=1 т.е.

𝐶

1

∫

0

⎛

⎜

⎝

exp

Ψ

∫

0

∇²Ψ

𝑅²

𝑑Ψ

⎞

⎟

⎠

𝑑Ψ

=

1.

Таким образом, получается второе приближение для Ψ Этот процесс может быть повторён снова.

В результате, рассчитав 𝑉_Ψ1, 𝑉_𝔇2, 𝑉_Ψ2 и т. д., мы получим значения ёмкости, которые последовательно то больше, то меньше истинной ёмкости и непрерывно приближаются к ней.

Описанный выше метод требует расчёта формы линии 𝑠 и проведения интегрирования вдоль неё. В общем случае это операции, слишком сложные для практических целей. Однако в некоторых частных случаях можно применить более простой метод получения приближения.

102 в. В качестве иллюстрации метода рассмотрим его применение к нахождению последовательных приближений для эквипотенциальных поверхностей и линий индукции в электрическом поле между двумя почти (но не совсем) плоскими и почти параллельными поверхностями, причём одна из них имеет нулевой потенциал, а другая - единичный.

Пусть уравнения этих поверхностей имеют вид

𝑧

₁

=

ƒ

₁

(𝑥,𝑦)

=

𝑎

(19)

для поверхности с нулевым потенциалом и

𝑧

₂

=

ƒ

₂

(𝑥,𝑦)

=

𝑏

(20)

для поверхности с единичным потенциалом. Здесь 𝑎 и 𝑏 - заданные функции от 𝑥 и 𝑦, причём 𝑏 всегда больше 𝑎. Первые производные 𝑎 и 𝑏 по 𝑥 и 𝑦 считаются малыми величинами, вторыми и более высокими степенями и произведениями которых можно пренебречь.

Предположим сначала, что линии индукции параллельны оси 𝑧. Тогда

ƒ=0,

𝑔=0,

𝑑𝘩/𝑑𝑧=0

.

(21)

Таким образом, 𝘩 постоянно вдоль каждой отдельной линии индукции и

Ψ

=

-4π

𝑧

∫

𝑎

𝘩

𝑑𝑧

=

-4π𝘩

(𝑧-𝑎)

.

(22)

При 𝑧=𝑏 Ψ=1, так что

𝘩

=-

1

4π(𝑏-𝑎)

(23)

и

Ψ=(𝑧-𝑎)/(𝑏-𝑎)

.

(24)

Таким образом, мы получили первое приближение для потенциала, дающее систему эквипотенциальных поверхностей, равноотстоящих друг от друга в направлении, параллельном 𝑧.

Для получения второго приближения для линий индукции примем, что они всюду нормальны к эквипотенциальным поверхностям, определяемым уравнением (24).

Это условие эквивалентно соотношениям

4πƒ

=

λ

𝑑Ψ

𝑑𝑥

,

4π𝑔

=

λ

𝑑Ψ

𝑑𝑦

,

4π𝘩

=

λ

𝑑Ψ

𝑑𝑧

,

(25)

где λ определяется требованием, чтобы в каждой точке поля выполнялось условие

𝑑ƒ

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑𝘩

𝑑𝑧

(26)

и чтобы криволинейный интеграл

4π

∫

⎛

⎜

⎝

ƒ

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+

𝑔

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+

𝘩

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

,

(27)

взятый вдоль любой линии индукции от поверхности 𝑎 до поверхности 𝑏, был равен -1.

Положим

λ

=

1+𝐴

+

𝐵(𝑧-𝑎)

+

𝐶(𝑧-𝑎)²

(28)

и будем пренебрегать степенями и произведениями 𝐴, 𝐵, 𝐶, пренебрежём также на данном этапе степенями и произведениями первых производных от 𝑎 и 𝑏.

Условие соленоидальности даёт при этом

𝐴

=

-∇²𝑎

,

𝐵

=-

1

2

∇²(𝑏-𝑎)

𝑏-𝑎

,

(29)

где

∇²

=-

⎛

⎜

⎝

𝑑²

𝑑𝑥²

+

𝑑²

𝑑𝑦²

⎞

⎟

⎠

(30)

Вместо того чтобы брать криволинейный интеграл по новой линии индукции, мы возьмём его по старой линии индукции, параллельной 𝑧. Тогда второе условие соленоидальности даёт

1=1

+𝐴

+

1

2

𝐵(𝑏-𝑎)

+

1

3

𝐶(𝑎-𝑏)²

откуда

𝐴

=

1

6

(𝑏-𝑎)

∇²

(2𝑎+𝑏)

(31)

и

λ

=

1+

1

6

(𝑏-𝑎)

∇²

(2𝑎+𝑏)

-

(𝑧-𝑎)

∇²𝑎

-

1

2

(𝑧-𝑎)²

𝑏-𝑎

∇²

(𝑏-𝑎)

.

(32)

Таким образом, мы находим второе приближение для составляющих смещения

-4πƒ

=

λ

𝑏-𝑎

⎡

⎢

⎣

𝑑𝑎

𝑑𝑥

+

𝑑(𝑏-𝑎)

𝑑𝑥

𝑧-𝑎

𝑏-𝑎

⎤

⎥

⎦

,

-4π𝑔

=

λ

𝑏-𝑎

⎡

⎢

⎣

𝑑𝑎

𝑑𝑦

+

𝑑(𝑏-𝑎)

𝑑𝑦

𝑧-𝑎

𝑏-𝑎

⎤

⎥

⎦

,

-4π𝘩

=

λ

𝑏-𝑎

(33)

второе приближение для потенциала

Ψ

=

𝑧-𝑎

𝑏-𝑎

+

1

6

∇²

(2𝑎+𝑏)

(𝑧-𝑎)

-

1

2

∇²𝑎

(𝑧-𝑎)²

𝑏-𝑎

-

-

1

6

∇²

(𝑏-𝑎)

(𝑧-𝑎)³

(𝑏-𝑎)²

.

(34)

Если обозначить через σ_𝑎 и σ_𝑏 поверхностные плотности на поверхностях 𝑎 и 𝑏, а через Ψ_𝑎 и Ψ_𝑏 - соответствующие потенциалы, то

σ

_𝑎

=

1

4π

(Ψ

_𝑎

-Ψ

_𝑏

)

⎡

⎢

⎣

1

𝑏-𝑎

+

1

3

∇²𝑎

+

1

6

∇²𝑏

⎤

⎥

⎦

,

σ

_𝑏

=

1

4π

(Ψ

_𝑏

-Ψ

_𝑎

)

⎡

⎢

⎣

1

𝑏-𝑎

-

1

6

∇²𝑎

-

1

3

∇²𝑏

⎤

⎥

⎦

.

ГЛАВА V

МЕХАНИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ