Трактат об электричестве и магнетизме

103. Пусть 𝐸₁ и 𝐸₂ - две электрические системы, взаимодействие между которыми и является предметом рассмотрения. Пусть распределение заряда в системе 𝐸₁ даётся объёмной плотностью ρ₁ в элементе объёма с координатами 𝑥₁, 𝑦₁, 𝑧₁, a ρ₂ - объёмная плотность в элементе объёма системы 𝐸₂ с координатами 𝑥₂, 𝑦₂, 𝑧₂.

Тогда 𝑥-составляющая силы отталкивания, действующей на элемент 𝐸₁ со стороны элемента 𝐸₂, равна

ρ

₁

ρ

₂

𝑥₁-𝑥₂

𝑟³

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑦

₁

𝑑𝑧

₁

𝑑𝑥

₂

𝑑𝑦

₂

𝑑𝑧

₂

,

где 𝑟² = (𝑥₁-𝑥₂)² + (𝑦₁-𝑦₂)² + (𝑧₁-𝑧₂)², а 𝑥-составляющая 𝐴 полной силы, действующей на систему 𝐸₁ из-за наличия системы 𝐸₂, равна

𝐴

=

∭∭

𝑥₁-𝑥₂

𝑟³

ρ

₁

ρ

₂

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑦

₁

𝑑𝑧

₁

𝑑𝑥

₂

𝑑𝑦

₂

𝑑𝑧

₂

,

(1)

где интегрирование по 𝑥₁, 𝑦₁, 𝑧₁ производится по объёму, занимаемому системой 𝐸₁ а интегрирование по 𝑥₂, 𝑦₂, 𝑧₂ - по объёму, занимаемому системой 𝐸₂. Но поскольку ρ₁ равно нулю вне системы 𝐸₁, а ρ₂ равно нулю вне системы 𝐸₂, то значение интеграла не изменится при расширении пределов интегрирования, так что мы можем считать пределы интегрирования равными ±∞.

Это выражение для силы является буквальным переводом на математический язык теории, предполагающей прямое воздействие электрической силы между телами на расстоянии и не придающей значения промежуточной среде.

Если теперь определить потенциал Ψ₂ в точке 𝑥₁, 𝑦₁, 𝑧₁ возникающий из-за наличия системы 𝐸₂, уравнением

Ψ

₂

=

∭

ρ₂

𝑠

𝑑𝑥

₂

𝑑𝑦

₂

𝑑𝑧

₂

,

(2)

то Ψ₂ будет обращаться в нуль на бесконечности и удовлетворять всюду уравнению

∇²Ψ

₂

=

4πρ

₂

.

(3)

Величину 𝐴 можно теперь записать в виде тройного интеграла

𝐴

=-

∭

𝑑Ψ₂

𝑥₁

ρ

₁

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑦

₁

𝑑𝑧

₁

.

(4)

Здесь предполагается, что потенциал Ψ₂ имеет определённое значение в каждой точке поля. Сила 𝐴 выражается через этот потенциал и через плотность электричества ρ₁ в первой системе 𝐸₁; распределение электричества во второй системе 𝐸₂ явно сюда не входит.

Пусть теперь Ψ₁ - потенциал, создаваемый первой системой, выраженный как функция от 𝑥₁, 𝑦₁, 𝑧₁ и определяемый уравнением

Ψ

₁

=

∭

ρ₁

𝑟

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑦

₁

𝑑𝑧

₁

.

(5)

Он обращается на бесконечности в нуль и удовлетворяет всюду уравнению

∇²Ψ

₁

=

4πρ

₁

.

(6)

Мы можем теперь исключить ρ₁ из 𝐴 и получить соотношение

𝐴

=-

1

4π

∭

𝑑Ψ₂

𝑑𝑥₁

∇²Ψ

₁

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑦

₁

𝑑𝑧

₁

,

(7)

выражающее силу только через оба потенциала.

104. В рассмотренных до сих пор интегралах безразлично, каковы их пределы, лишь бы они включали весь объём системы 𝐸₁. Но теперь мы предположим, что системы 𝐸₁ и 𝐸₂ таковы, что существует некоторая замкнутая поверхность 𝑠 содержащая внутри всю систему 𝐸₁ и ни одной части системы 𝐸₂.

Положим также

ρ=ρ

₁

+ρ

₂

,

Ψ=Ψ

₁

+Ψ

₂

.

(8)

Тогда внутри 𝑠 имеем ρ₂=0, ρ=ρ₁, а вне 𝑠

ρ

₁

=0

,

ρ=ρ

₂

.

(9)

Далее, интеграл

𝐴

₁₁

=-

∭

𝑑Ψ₁

𝑑𝑥₁

ρ

₁

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑦

₁

𝑑𝑧

₁

(10)

даёт 𝑥-составляющую результирующей силы, действующей на систему 𝐸₁ из-за наличия электричества в самой этой системе. Но по теории прямого взаимодействия эта сила должна быть равна нулю, так как сила действия любой частицы 𝑃 на частицу 𝑄 равна и противоположна силе действия 𝑄 на 𝑃, а поскольку в интеграл входят составляющие обеих сил, то они уничтожают друг друга.

Поэтому можно написать

𝐴

=-

1

4π

∭

𝑑Ψ

𝑑𝑥

∇²Ψ

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑦

₁

𝑑𝑧

₁

,

(11)

где Ψ - потенциал, создаваемый обеими системами, а интегрирование ограничено объёмом внутри поверхности 𝑠, охватывающей всю систему 𝐸₁ и ни одной части системы 𝐸₂.

105. Если считать, что 𝐸₂ действует на 𝐸₁ не непосредственно на расстоянии, а через посредство напряжений, распределённых в среде, простирающейся непрерывно от 𝐸₂ до 𝐸₂, то очевидно, что, зная напряжения во всех точках любой замкнутой поверхности, полностью отделяющей 𝐸₁ от 𝐸₂, мы можем определить механическое действие 𝐸₂ на 𝐸₁. Если бы сила, действующая на 𝐸₁, не полностью объяснялась напряжением на 𝑠, это означало бы прямое взаимодействие между чем-то вне 𝑠 и чем-то внутри 𝑠.

Следовательно, если действие 𝐸₂ на 𝐸₁ можно объяснить распределением напряжений в промежуточной среде, то оно должно записываться в виде поверхностного интеграла по любой поверхности 𝑠, полностью отделяющей 𝐸₂ от 𝐸₁.

Попытаемся поэтому представить

𝐴

=-

1

4π

∭

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎡

⎢

⎣

𝑑²Ψ

𝑑𝑥²

+

𝑑²Ψ

𝑑𝑦²

+

𝑑²Ψ

𝑑𝑧²

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(12)

в виде поверхностного интеграла.

По Теореме III, п. 21, это возможно, если удаётся найти такие 𝑋, 𝑌, 𝑍, что

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

𝑑²Ψ

𝑑𝑥²

+

𝑑²Ψ

𝑑𝑦²

+

𝑑²Ψ

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

=

𝑑𝑋

𝑑𝑥

+

𝑑𝑌

𝑑𝑦

+

𝑑𝑍

𝑑𝑧

.

(13)

Преобразуя отдельно каждое слагаемое, получим

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑²Ψ

𝑑𝑥²

=

1

2

𝑑

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

,

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑²Ψ

𝑑𝑦²

=

𝑑

𝑑𝑦

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

-

𝑑Ψ

𝑑𝑦

𝑑²Ψ

𝑑𝑥𝑑𝑦

=

𝑑

𝑑𝑦

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

-

1

2

𝑑

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

.

Аналогично

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑²Ψ

𝑑𝑧²

=

𝑑

𝑑𝑧

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

-

1

2

𝑑

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

.

Таким образом, если положить

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

=

8π𝑝

_𝑥𝑥

,

𝑑Ψ

𝑑𝑦

𝑑Ψ

𝑑𝑧

=

4π𝑝

_𝑦𝑧

=

4π𝑝

_𝑧𝑦

,

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

=

8π𝑝

_𝑦𝑦

,

𝑑Ψ

𝑑𝑧

𝑑Ψ

𝑑𝑥

=

4π𝑝

_𝑧𝑥

=

4π𝑝

_𝑥𝑧

,

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

=

8π𝑝

_𝑧𝑧

,

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑Ψ

𝑑𝑦

=

4π𝑝

_𝑥𝑦

=

4π𝑝

_𝑦𝑥

,

(14)

то

𝐴

=

∭

⎡

⎢

⎣

𝑑𝑝_𝑥𝑥

𝑑𝑥

+

𝑑𝑝_𝑦𝑥

𝑑𝑦

+

𝑑𝑝_𝑧𝑥

𝑑𝑧

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(15)

где интегрирование производится по всему объёму внутри 𝑠.

Преобразуя объёмный интеграл по Теореме III, п. 21, получим

𝐴

=

∬

(

𝑙𝑝

_𝑥𝑥

+

𝑚𝑝

_𝑦𝑥

+

𝑛𝑝

_𝑧𝑥

)

𝑑𝑠

,

(16)

где 𝑛𝑠 - элемент любой замкнутой поверхности, охватывающий всю систему 𝐸₁ но ни одной части системы 𝐸₂, а 𝑙, 𝑚, 𝑛, - направляющие косинусы внешней нормали к 𝑛𝑠.