Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

4. Треугольники ΔAGZ и ΔAВН равны (предложение 4, по критерию равенства треугольников сторона — угол — сторона), поскольку у них равны стороны ^4Z и АН (общее понятие 2) и AG и АВ соответственно, и общий угол между ними. Следовательно, углы

5. Треугольники ΔGBZ и ΔBGH равны (предложение 4), следовательно, углы

Книга I, предложение 15. Если две прямые пересекаются, то образуют в вершине углы, равные между собой (см. рисунок).

1. Прямые АВ и CD пересекаются в точке Е (утверждение).

2. Необходимо доказать, что углы

3. Суммы пар углов <СЕВ <СЕА и <СЕА

4. Следовательно, суммы пар углов <СЕВ <СЕА и <СЕА

5. Если мы вычтем из обеих пар угол <СЕА, оставшиеся углы <СЕВ и

Обратим внимание на то, что Евклид прибегает к определениям, уже доказанным предложениям, общим понятиям и постулатам. С их помощью, последовательно связывая рассуждения и построения, мы достигаем искомого результата исходя из заданных условий. Простота этих доказательств придает им большое изящество.

Но иногда Евклид прибегает и к косвенному методу доведения до абсурда. Этот способ заключается в постулировании утверждения, обратного тому, которое требуется доказать, — здесь Евклид и читатель должны быть согласны друг с другом. Путем рассуждений мы приходим одновременно к некоему предложению и к его отрицанию, то есть к неприемлемому результату. Следовательно, исходное утверждение оказывается неверным, а обратное ему, которое и требовалось доказать, истинно. Здесь кроется логический принцип, который Евклид нигде не объясняет отдельно: из двух обратных друг другу утверждений — когда одно является отрицанием другого — одно обязательно будет верным, а другое ложным. Хотя Евклид и никогда не описывал метод доведения до абсурда, он часто прибегал к нему. Этот метод доказательства по своему существу можно считать аристотелевским; его с трудом можно вписать в анализ, скорее он лежит в области синтеза.

Фрагмент папируса с рисунком, иллюстрирующим предложение 5 книги II Евклида, найденный при раскопках Оксиринха (Пемжде), древнего города в 160 км от Каира.

Изложение в рисунках первого предложения книги I. Оливье Бирн(1810- 1890).

АРИСТОТЕЛЬ И ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ √2

Для доказательства того, что не существует ни одного числа, которое в квадрате было бы равно двум, философ использовал метод доведения до абсурда.

Нет причин для существования числа, квадрат которого был бы равен 2.

На современном языке это означает, что квадратный корень из числа 2 — иррациональное число. Аристотель сначала принимает истинным противоположный постулат о том, что это число рациональное, и приходит к заключению: в таком случае «четное число одновременно есть также и нечетное», а это невозможно. Запишем его рассуждения в современном виде.

Предположим (дополнительная гипотеза), что

2 = m²/n²

где m и n — два числа разной четности. Следовательно, 2n^² = m^². Тогда, если m — четное число (то есть m = 2m'), то n — нечетное. Следовательно, 2n^² = 4m'^². То есть n^² = 2m'^², и n — четное.

Теперь рассмотрим еще один пример, который показывает, что, используя метод доведения до абсурда, Евклид прибегал к идеальным математическим объектам. Как мы уже сказали, при доказательстве необходимо установить, что построенные математические объекты правильны. Тем не менее метод доведения до абсурда предполагает, что в начале допускается существование неких математических объектов, как если бы они были реальными. Потом доказывается, что эта предпосылка ошибочна, то есть требуется построение объектов, которые не могут быть построены.

Эту проблему можно решить, приняв тот факт, что процесс построения происходит только в идеальной области фигур. Например, представим себе круг и прямую: они пересекаются или в двух точках, или в одной (в случае с касательной), или вообще не пересекаются. Если они пересекаются в двух точках, то эти точки существуют в идеальной геометрии, или, иначе говоря, в геометрической методологии. Например:

РИС. 1

Книга I, предложение 6. Если у треугольника два угла равны, то и противоположные им стороны равны.

Евклид рассматривает фигуру на рисунке 1 (треугольник АВС с равными углами СВА и АСВ, у которого при этом противоположные стороны АВ и АС неравны; например, одна, АВ, длиннее АС).

Но такого треугольника не существует. Это иллюстрация дополнительного постулата, который оказывается ложным.

Рисунок 2 проясняет ход рассуждений Евклида. Мы и включаем его в эту главу, поскольку на его примере видны трудности использования ошибочных фигур. Они используются, чтобы облегчить понимание доказательства, но этой цели труднее достичь, когда фигуры заведомо невозможны.

РИС. 2

В таких доказательствах нет простоты, характерной для анализа, но в них видна глубина знаний геометрии и логико-дедуктивного метода, присущего синтезу. Необходимо упомянуть, что эта доказательная техника пришлась по нраву не всем древнегреческим геометрам, поэтому в различных комментариях к «Началам» встречаются и другие доказательства, приведенные, чтобы избежать ее. Яркий тому пример — Герои Александрийский.

Так или иначе, структура «Начал» была достаточно солидной, чтобы затмить все предшествующие им трактаты. Возможно, именно в разработке этой структуры и заключается главное наследие Евклида. Теперь мы перейдем к изучению содержания: рассмотрим книгу I и метод танграма, роль бесконечности, значение и происхождение постулата о параллельных, природу и значение иррациональных величин, а также метод исчерпывания, построение Платоновых тел и, наконец, величайший вклад в науку Пифагора — арифметику.

ГЛАВА 3

Книга I и геометрия Вселенной

При изучении первой книги «Начал» мы сталкиваемся с фундаментальными вопросами евклидовой геометрии. Некоторые из них сугубо технического толка, а другие, более интересные, затрагивают отношение геометрии к проблеме бесконечности или соотнесение абстрактных геометрических фигур с окружающей действительностью. Благодаря вопросу, вытекающему из знаменитого постулата о параллельных прямых, мы проделаем путешествие во времени сквозь два тысячелетия, вплоть до неевклидовой геометрии, совершившей революцию в науке XIX века.

Первая книга — единственная из всех томов «Начал», которая содержит и общие понятия, и постулаты. В первых трех, как мы уже сказали, упоминаются приемлемые инструменты для построения геометрических объектов, и, следовательно, они имеют большое значение для решения задач. Оставшиеся два важны для определения природы евклидовой геометрии. Книга I ставит и другие вопросы: движение, искривление, бесконечность, метод танграма (о нем мы поговорим в главе 4) и так далее. Рассмотрим, каким образом четвертый постулат «Начал» связан с движением в геометрии. Согласно ему все прямые углы равны между собой.

В определении 10 из книги I читаем:

Когда прямая, восставленная на другой прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой.

Если оба угла равны, они являются прямыми (рисунок 1). Возникает вопрос: равна ли эта пара углов другой паре, то есть равны ли все прямые углы, а не только парные? Четвертый постулат дает положительный ответ.

В конкретном случае прямых углов Евклид предполагает некую однородность плоскости. Таким образом, этот постулат включает в себя движение фигур, что предусматривает также общее понятие 5, но мы не можем прибегать к общему понятию для решения чисто геометрической задачи. В евклидовой геометрии нет ни одного постулата, в котором говорилось бы, что две наложенные друг на друга фигуры равны. Другими словами, общее понятие 5 должно быть постулатом, как мы уже говорили в главе 2. Несмотря на это Евклид не смог избежать понятия движения, хотя использовал его в редких случаях, например в пространственной геометрии, когда создавал конус и шар путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов и круга вокруг его диаметра. Он также использовал это понятие в предложениях 4 и 8 первой книги для установления признаков равенства треугольников по стороне, углу и стороне и по трем сторонам. Однако в критерии равенства по углу, стороне и углу удается избежать движения. Рассмотрим первый случай.

Книга I, предложение 4. Если два треугольника имеют по две стороны, равные между собой, и по равному углу, содержащемуся между равными прямыми, то они будут иметь и равные основания, и один треугольник будет равен другому.

РИС. 1

Согласно определению 10, пары углов α, β; γ, δ и ε, ζ равны. То есть α = β, γ = δ, ε = ζ. Следовательно, и α, и β, и γ, и δ, и ε, и ζ являются прямыми углами.

Его доказательство полностью основывается на наложении двух треугольников и на общем понятии 5 и выглядит так: наложим треугольники АВС и А'В'С' один на другой (движение) так, чтобы угол АВС совпал с углом А'В'С'. Очевидно, что стороны АВ и ВС накладываются на стороны А'В' и В'С. Но через точки А [=А'] и С [=С] проходит только одна прямая (общее понятие 7). Следовательно, треугольники полностью совпадают и, согласно общему понятию 4, они были равны и до их перемещения. Таким образом, треугольники АВС и А'В'С равны. Здесь необходимо уточнить, что непоследовательное использование движения не является ошибкой Евклида.

Единственный способ быть последовательными в этом случае — принять это предложение как постулат, что сделал много веков спустя немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943) в своей строгой аксиоматизации геометрии.

РИС. 2

ПРЯМАЯ, КОТОРОЙ НИКОГДА НЕ БЫЛО

Несмотря на определения 2, 3 и 4 из книги I, Евклид ни разу не объяснил, что такое прямая, каковы ее свойства и каким критериям она должна отвечать. Тем не менее он ясно определил, что прямые конечны и их концами являются точки. В действительности Евклид занимался отрезками прямых. Но когда он говорит о равной длине диаметра в определении круга, то использует понятие расстояния. Для прямых его применил позже Архимед в первой аксиоме своего сочинения «О шаре и цилиндре»: «Прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками». Как мы увидели на примере предложения 4, Евклид использовал постулаты, не устанавливая их. В доказательстве предложения 1 книги I, проанализированном в главе 2, содержится утверждение, которое мы сейчас подробно рассмотрим:

Проведем прямые СА и СВ из точки пересечения двух окружностей С.

Что может служить гарантией существования точки С по Евклиду? Ничего, кроме рисунка, иллюстрирующего доказательство. Но это неприемлемо, так как рисунок может считаться правильным, только если точка С существует (вспомним изображения невозможных треугольников, использующиеся в доказательствах методом доведения до абсурда).

ИСКРИВЛЕНИЕ ФИГУР

Вопрос искривления возникает в «Началах» неявно. Перед тем как перейти к постулату о параллельных прямых, Евклид устанавливает очень интересный результат:

Книга I, предложение 17. Во всяком треугольнике сумма двух любых углов меньше двух прямых углов.

Чтобы правильно понять эту задачу, мы должны внимательно следовать за рассуждениями Евклида. Он хочет доказать, что сумма углов

1. Он делит сторону AG пополам и получает точку Е (Книга I, предложение 10).

2. Соединяет В и Е (постулат 1) и удваивает этот отрезок (постулат 2 и книга I, предложение 2). Получается точка Z.

3. Соединяет ее с точкой G (постулат 1). Евклид получает два равных треугольника (книга I, предложение 4), так как стороны ZE и EG треугольника ZEG равны сторонам BE и ЕА треугольника БЕЛ соответственно, по построению, а углы

Евклид получил такой результат, поскольку точка Z располагается внутри угла

В постулате 5 Евклид утверждает, что при некоторых условиях две прямые пересекаются: «Существует точка, принадлежащая им обеим». А в случае с окружностями он принимает это за такой очевидный факт, что не считает нужным говорить об этом. Здесь мы опять сталкиваемся со скрытым постулатом.

Равносторонний треугольник, построенный на отрезке АВ в первом предложении, существует, поскольку построение Евклида верно; но оно зависит от существования точки С. В реальности, в которой этой точки нет, не будет и треугольника. От этого зависят многие из первых доказательств Евклида. Возможность построения в «Началах» зависит от возможности построения точек. Ученый определяет необходимые и достаточные условия, при которых две прямые пересекаются, и правильно обозначает точки, появляющиеся таким образом. Но при этом он не говорит, при каких условиях пересекаются прямая и окружность, и следовательно, точки, получающиеся в местах их пересечения, как бы не существуют.

Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка.

Карл Фридрих Гаусс

Хотя он мог бы сделать это очень просто, достаточно было уточнить, например в случае с окружностями, следующее.

Постулат о пересечении двух окружностей. Если расстояние между центрами двух окружностей меньше половины суммы их диаметров [то есть меньше суммы радиусов этих окружностей]_, то эти окружности пересекаются в двух точках.

Аналогичным образом можно определить условие, позволяющее выявить существование двух точек, образованных в результате пересечения окружности и прямой: прямая и окружность пересекаются [в двух точках], если перпендикуляр, идущий от центра окружности к прямой, меньше ее радиуса. Но Евклид ничего не говорит по этому поводу.

ПОСТУЛАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

Все ученые, занимающиеся «Началами», согласны в том, что их структура и, в частности, постулат 5 (мы будем кратко обозначать его П5) принадлежат самому Евклиду. Это знаменитый постулат о параллельных прямых, который в формулировке Евклида гласит, что «в определенных условиях две прямые неизбежно пересекутся». Евклид впервые применяет его только в предложении 29 первой книги. Та часть геометрии, которая не зависит от этого постулата, получила название абсолютной геометрии. Дословно в пятом постулате говорится следующее.

Постулат 5 (П5). Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы, меньшие двух прямых.

Обычно постулат о параллельных прямых изучается не в этой оригинальной формулировке, а в том виде, в котором его изложил шотландский математик Джон Плейфэр (1748— 1819), профессор математики, а впоследствии и философии в Эдинбургском университете.

Постулат Плейфэра (ПП). В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Это утверждение имеет точно такой же смысл, как и постулат Евклида, и подчеркивает, что для П5 необходимы два условия: с одной стороны, существование «прямой, параллельной данной прямой, проведенной через точку, не лежащую на последней», а с другой стороны, эта прямая должна быть единственной. Это существование Евклид дает в предложении 31:

КРИВАЯ И ЕЕ АСИМПТОТА

При помощи пятого постулата Евклид предотвращает асимптотичность «искривления» прямых, как в случае с гиперболой и ее асимптотой (эта предосторожность тем более необходима, поскольку, как мы уже увидели, Евклид не дает полного определения прямой, так что мы не знаем ее полных основных свойств).

В случае с кривыми, например, то, что одна все больше приближается ко второй, не означает, что они обязательно пересекутся, как видно на рисунке: гипербола постепенно приближается к прямой — своей асимптоте,— но никогда не коснется ее.

Книга I, предложение 31. Через точку Р> не лежащую на прямой АВ_У всегда можно провести прямую линию, параллельную данной прямой.

Проведем через точку Р линию PQ, перпендикулярную АВ (Q находится на прямой АВ или на ее продолжении, которое можно построить при помощи циркуля и линейки, согласно предложению 12). Таким же образом проведем через Р прямую PR, перпендикулярную PQ. Очевидно, что прямые PR и АВ параллельны, потому что в противном случае они бы пересеклись в некой точке, например R, и мы получили бы треугольник ΔQPR с двумя прямыми углами. Но это невозможно (поскольку противоречит предложению 16 книги I), следовательно, существование параллельной доказано. Теперь мы должны доказать, что эта прямая всего одна. Для этого необходимо прибегнуть к ложному (или идеальному) геометрическому объекту, который уже подразумевает правильность того, что мы хотим доказать. Получается, факт единственности такой параллельной не вытекает ни из какого другого постулата. Как мы увидим дальше, это привело к настоящему перевороту, поскольку вынуждало поставить под сомнение авторитет Евклида.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ

Доказать единственность параллельной можно, приняв за истину евклидову геометрию.

Через точку Р, не лежащую на прямой АВ, всегда можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Если бы существовали две прямые, параллельные АВ (вводится дополнительная фигура, воображаемая, поскольку основана на ложной предпосылке), это были бы первая (та, которая образует прямой угол с PQ в точке Р) и PR. Следовательно, угол

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Говоря о геометрии, невозможно не задаться вопросом: какова же истинная геометрия природы? Несомненно, одна из целей аксиоматизации состоит в том, чтобы уловить истину сущего. Но, возможно, на самом деле мы просто улавливаем истинность того, что представляем, то есть порождения человеческого разума, необязательно совпадающего с реальностью.

Во времена Евклида были две «настоящие» геометрические науки: «геометрия небес», то есть сферическая геометрия, необходимая для понимания астрономических процессов, так занимавших древнегреческих мыслителей, и «геометрия внутреннего двора», которой занимался Архимед, когда, по легенде, римский солдат поразил его своим мечом. Первую сейчас называют эллиптической геометрией. Она проявляется на поверхности земного шара. В этой геометрии точки определяются так же, а прямые — нет. Если вслед за Архимедом принять за прямую кратчайшую линию, соединяющую две точки, то мы заметим, что в эллиптической геометрии эти прямые обязательно пересекутся. Представим себе ситуацию: два человека начинают идти по прямой по земному шару, достигая в итоге исходной точки. Оба опишут максимальную окружность (то есть ту, которая делит сферу на два равных полушария), а максимальные окружности сферы обязательно пересекаются (на рисунке 3 окружности r и r' пересекаются в точке Р). Следовательно, в этой геометрии через заданную точку невозможно провести ни одну прямую, параллельную данной.

Вторая геометрия — внутреннего двора — работает в пределах ограниченного стенами пространства, в которой можно построить только то, что позволяет песок, покрывающий землю. В этой геометрии через точку Р, не лежащую на прямой r, можно провести бесконечное число параллельных прямых (см. рисунок 4). Так, мы можем провести через Р прямые r', r", r'". Только r" пересекает r внутри двора. Но есть и другие — все прямые, находящиеся внутри угла с вершиной Р и со сторонами, образованными прямыми, исходящими из Р и доходящими до прямой r. Точки пересечения находятся на стенах двора, а не на земле — там их не существует. Следовательно, прямые r и r' не пересекаются и являются параллельными. Прямые, не находящиеся внутри угла с вершиной P, как и его стороны, параллельны r.

Графические построения в такой геометрии, сейчас называемой гиперболической, выглядят так, будто их сделали на седле (рисунок 5). На такой поверхности равносторонний треугольник принимает странный вид, а сумма его углов становится меньше 180°. Параллельные же прямые удаляются друг от друга до бесконечности (или, наоборот, сближаются).

РИС.З

РИС. 4

РИС. 5

Эту геометрию открыли в начале XIX века независимо друг от друга венгерский ученый Янош Бойяи (1802-1860) и русский математик Николай Лобачевский (1792-1856). Уже в 1823 году Лобачевский начал сомневаться в том, что евклидова геометрия единственно возможная, причем именно потому, что все попытки доказать единственность параллельной прямой, исходя из других постулатов Евклида, были напрасны.

В 1829 году появилась статья Лобачевского «О началах геометрии», легшая в основу так называемой неевклидовой геометрии. В ней изложены принципы первой геометрии, построенной на гипотезе, противоречащей пятому постулату Евклида: через точку С, не лежащую на прямой АВ, можно провести более одной параллельной прямой, лежащей в плоскости АВС и не пересекающей АВ. На основе этого переформулированного постулата Лобачевский создал гармоничную и непротиворечивую геометрию.

До сих пор не было дано никакого строгого доказательства его правоты.

Николай Лобачевский о пятом постулате в 1823 году

Тем не менее авторитет Евклида и «Начал» в математическом мире был так высок, что Лобачевский решил не придавать большого значения новой геометрии и в первые годы чуть ли не стыдясь называл ее «воображаемой». За 20 лет, между 1835 и 1855 годами, он по меньшей мере три раза пересматривал свою новую систему. Шотландский писатель и математик Эрик Белл в своей знаменитой книге «Творцы математики» (1937) писал:

«В течение 2200 лет в некотором смысле верилось, что Евклид своей системой геометрии открыл абсолютную истину или необходимый способ человеческого познания. Созданное Лобачевским было настоятельным доказательством ошибочности этого верования. Смелость этого вызова и порожденный им успех вдохновили математиков и ученых вообще бросить вызов другим «аксиомам» или принятым «истинам» (например, «принципу» причинности), которые в течение столетий казались так же необходимыми для направления мышления, как постулат Евклида, до того как Лобачевский отбросил его.

Сильный стимул от метода Лобачевского бросать вызов аксиомам, вероятно, все еще должен ощущаться. Это не преувеличение — называть Лобачевского Коперником геометрии, так как геометрия есть только часть более широкой области, которую он обновил. Может быть, даже было бы справедливо называть его Коперником всего мышления».

Параллельно с Лобачевским (это слово здесь как нельзя более кстати) венгерский ученый Янош Бойяи пришел к тем же самым выводам. Его отец Фаркаш пытался доказать постулат о параллельных почти всю свою жизнь, но так ничего и не добился. Хотя открытие Яноша было сделано одновременно с Лобачевским, он обнародовал его только в 1832 году, опасаясь реакции, которую могла вызвать такая математическая «ересь». По этой причине первенство открытия неевклидовой геометрии приписывается исключительно русскому математику.

Фаркаш в письме своему другу Карлу Фридриху Гауссу поинтересовался его мнением о трудах своего сына. На это Гаусс ответил со всей откровенностью, что не может похвалить Яноша, потому что это равносильно тому, чтобы похвалить себя самого, настолько совпадали их точки зрения по этому вопросу. Из этого письма понятно: Гаусс тоже пришел к выводу о том, что постулат о параллельных в том виде, в котором сформулировал его Евклид, не вытекает из остального содержания его труда, и разработал какие-то другие логичные геометрические системы. Решение Гаусса не публиковать свои открытия, несмотря на его авторитет в мире математики, позволяет понять, насколько рискованно было оспаривать учение великого Евклида. Гаусс был так осторожен, что даже отказался публично поддержать Бойяи и Лобачевского после издания их работ — как он говорил, из страха «стать посмешищем болванов».

Еще одна великая неевклидова геометрия — эллиптическая — окончательно сформировалась благодаря одному знакомому Гаусса, немецкому математику Бернарду Риману (1826-1866). В своем докладе «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (одном из самых знаменитых в истории науки) он изложил невероятно изящную геометрическую систему, в которой рассматривались исключительно искривления различных пространств и вытекающие из этого свойства. Риман доказал, что пространство Евклида — и, соответственно, вся евклидова геометрия — является частным случаем пространства с кривизной, равной нулю. В таком пространстве сумма углов треугольника равна 180°. Но бывают и другие пространства: например, сферическое, с положительной кривизной, в котором сумма углов треугольника больше 180°, или гиперболическое, с отрицательной кривизной, где, как мы уже видели, сумма углов треугольника меньше 180°.

Бога ради, прошу тебя, забудь об этом. Страшись этого так же, как чувственных страстей, потому что, как и они, оно может забрать все твое время, лишить тебя здоровья, душевного покоя и счастья.

Фаркаш Бояйи в письме к сыну Яношу, узнав, что тот написал работу

О ЕВКЛИДОВОМ ПОСТУЛАТЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

СОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

Появление альтернативных геометрических учений привело к яростным философским спорам, которым можно подвести итог словами немецкого логика Готлоба Фреге из его посмертной статьи «О евклидовой геометрии»:

«Никто не может одновременно служить двум господам. Нельзя служить правде и лжи. Если евклидова геометрия верна, то неевклидова — ложна. Если верна неевклидова геометрия, то ложна евклидова. [...] Или так, или эдак! От какой же надо отказаться — от евклидовой или неевклидовой? Вот в чем вопрос».

Но все не так просто. Если мы будем исходить из гипотезы о том, что верна одна геометрия — например, геометрия Евклида, — то мы можем построить в ней такие поверхности, как сфера, обладающие эллиптической геометрией, и другие — при помощи геометрии внутреннего двора: первым таким примером стала псевдосфера Эудженио Бельтрами (1835-1900) в гиперболической геометрии. Другими словами, правильность одной геометрии подразумевает правильность и остальных, поскольку во всех них существуют поверхности или пространства, где они могут быть справедливы.

ТРАКТРИСА И ПСЕВДОСФЕРА

Если мы возьмем трактрису — кривую, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с осью OY является постоянной величиной (см. рисунок), — и будем вращать ее вокруг OY (ее асимптоты), то получим псевдосферу, первую модель гиперболической геометрии.

В 1899 году Гильберт опубликовал работу «Основания геометрии», в которой переписал «Начала» Евклида, дав им твердое основание и не прибегая ни к интуиции, ни к рисункам. Основные объекты — будь то «точки, прямые и плоскости» или «стулья, столы и пивные стаканы», как говорил Гильберт,— определялись исключительно аксиомами, которые устанавливали отношения между ними. Интересно, что Евклид принял за «истинную» не сферическую, а идеальную геометрию, основанную на абсолютно правильных построениях, а не на том, что мы видим вокруг. Единственно возможное объяснение — влияние Платона, благодаря которому Евклид по умолчанию признавал существование этой идеальной геометрии, не подверженной воздействию другой реальности, не подразумевающейся в ней самой.

ИТАК, ГЕОМЕТРИЯ ВСЕЛЕННОЙ — ЭТО...

Во Вселенной геометрия связана с поверхностью, на которой она рассматривается, то есть с геометрическими объектами. Представим, что мы, как современный Архимед, лежим в ванне и рисуем прямые линии на ее стенках: некоторые из них — на дне — будут прямыми в евклидовом смысле слова, другие будут восходящими кривыми (те, что идут со дна ванны вверх по стенкам) и нисходящими (те, что идут по стене от верхнего бортика). Теперь зададимся вопросом: почему некоторые из них могут называться прямыми, а другие нет?

Общая теория относительности Эйнштейна утверждает, что пространство и, следовательно, прямые, которые в нем содержатся, деформируются в присутствии значительных масс или энергий. Представим себе тяжелый свинцовый шар на большом барабане: его мембрана деформируется, то есть изгибается. Если шарик поменьше будет вращаться по краю, то по спирали «упадет» в центр. В пространстве происходит нечто похожее: тела с большой массой, аналогично свинцовому шару, искривляют пространственно-временной континуум и оказывают влияние на другие тела. Пространство подобно земной поверхности, форма которой также неидеальна, и тем не менее никто не отрицает, что в общем поверхность нашей планеты можно назвать шарообразной. Какова же геометрия Вселенной? Тела, обладающие большой массой и большой энергией, локально изменяют пространство, но если брать Вселенную в целом, какова ее геометрия? Можно ли считать ее евклидовой, гиперболической или эллиптической? Ответ надо искать не в математике, потому что математически все эти геометрии имеют право на существование: все они основаны на формальных принципах и обладают внутренней логикой. Ответ кроется в окружающей нас реальности.

Более века назад Карл Фридрих Гаусс задался тем же вопросом, что и мы. Как устроена Вселенная? Какова ее геометрия? Ученый пришел к выводу, что если бы он смог измерить три внутренних угла треугольника, вершинами которого являются три отдаленные друг от друга звезды, то понял бы геометрию Вселенной. Мы знаем, что...

Если сумма трех углов -

>180°

= 180°

<180°

то геометрия вселенной.

эллиптическая (сферическая)

евклидова

гиперболическая.

Но расчеты Лобачевского и Фридриха Бесселя (1784- 1846), астронома и друга Гаусса, не дали никаких результатов. В 1981 году американский физик Алан Гут (1947) ввел понятие плотности Вселенной, которая равна отношению массы материи к единице объема. Существует ее критическое значение — ρ₀ = 4 х 10^-27 кг/м³. Оно определяет геометрию Вселенной и ее последующее развитие (см. таблицу).

Варианты развития Вселенной

Плотность

Геометрия

Будущее

>ρ

₀

Сферическая

Коллапс

=ρ

₀

Евклидова

Плавное расширение

<ρ

₀

Гиперболическая

Резкое расширение

На данный момент полученное значение равно 10% ρ₀. Таким образом, считается, что Вселенная имеет гиперболическую геометрию и расширяется резко. Слова Галилея обретают новое звучание:

«Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), но понять ее может лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее — треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова; без них он был бы обречен блуждать в потемках по лабиринту».

Видимо, для того чтобы понять устройство Вселенной, необходимо прибегнуть к геометрии. Такое же мнение высказал Исаак Ньютон в своем знаменитом сочинении «Математические начала натуральной философии».

БЕСКОНЕЧНОСТЬ В НАЧАЛАХ

Мы не можем и не должны забывать о влиянии философии на древнегреческую математику. Аристотель, например, уделяет огромное влияние понятию бесконечности в своей «Физике». В самом начале он пишет:

«Мелисс... утверждает, что сущее бесконечно. Следовательно, сущее есть нечто количественное, так как бесконечное относится к [категории] количества, сущность же, а также качество или состояние не могут быть бесконечными иначе как по совпадению... ведь определение бесконечного включает в себя [категорию] количества, а не сущности или качества. Стало быть, если сущее будет и сущностью, и количеством, сущих будет два, а не одно; если же оно будет только сущностью, то оно не может быть бесконечным и вообще не будет иметь величины, иначе оно окажется каким-то количеством».

Но более детальный анализ бесконечности производится в книге III, где Аристотель рассуждает о природе бесконечности, ее существовании и видах. После подробнейших философских рассуждений древний грек заключает, что существует «бесконечное путем прибавления» для чисел (в арифметике) и «бесконечное путем деления» для величин (в геометрии). Оба типа бесконечного существуют потенциально, «в возможности», а не «актуально», в действительности. Другими словами, в науке бесконечности не существует, ни один объект не может считаться бесконечным.

Портрет Евклида на марке Мальдивской Республики (1988).

Аристотель.

В 1975 году математик Джон Плейфэр предложил новую формулировку пятого постулата Евклида;теперь этот постулат известен как аксиома Плейфэра.

Немецкий математик Давид Гильберт в 1886 году.

Бесконечность является только порождающим процессом. Актуальную бесконечность нельзя принять как возможную идею идеального мира и тем более ее нельзя применить к математике. Следовательно, остается только потенциально бесконечное, то есть возможность постоянно продолжать что-то, но всегда на ограниченное число ступеней. Этот процесс может никогда не кончаться: бесконечное всегда останется в области возможного. Аристотель очень убедителен, когда говорит об использовании математиками актуальной бесконечности:

«Наше рассуждение, отрицающее актуальность бесконечного в отношении увеличения, как не проходимого до конца, не отнимает у математиков их исследования, ведь они теперь не нуждаются в таком бесконечном и не пользуются им: [математикам] надо только, чтобы ограниченная линия была такой величины, как им желательно, а в том же отношении, в каком делится самая большая величина, можно разделить какую угодно другую. Таким образом, для доказательств бесконечное не принесет им никакой пользы, а бытие будет найдено в [реально] существующих величинах».

Для понимания методологии Евклида очень важно ответить на вопрос: прав ли Аристотель, когда утверждает, что его философия бесконечности не относится к математике? Насколько строго Евклид придерживается ограничений, установленных Аристотелем, и в каких случаях он их нарушает? Евклид считает, что прямые — это прямые отрезки, а их концы — точки, то есть прямые конечны. Он дает определение именно отрезкам и рассматривает только их. В пятом постулате он избегает говорить о параллелизме, который, как мы увидим дальше, подразумевает существование бесконечности. В разделе по арифметике, в частности в предложении 20 книги IX, он говорит:

Простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел.

Такая формулировка позволяет Евклиду применить прямое доказательство, а если бы он воспользовался понятием актуальной бесконечности, то вынужден был бы прибегнуть к непрямому доказательству. В этом заключается одна из трудностей, перед которой нас часто ставит использование понятия бесконечности: приходится прибегать к косвенным доказательствам с помощью метода доведения до абсурда. Рассмотрим разницу между двумя типами доказательств на примере утверждения Евклида, процитированного выше. Начнем с прямого. Представим, что у нас есть бесконечное количество простых чисел: а, b,..., т. Возьмем число N = (а х b х ... x m) + 1. Если N— простое число, значит есть простое число, отличное от а, b, ..., m. Напротив, если N — составное число, то его делителем будет простое число (книга VII, предложение 32), которое должно быть отличным от каждого из ряда простых чисел а, b, ..., m.

Теперь обратимся к непрямому доказательству. Переформулируем предложение 20 следующим образом:

Ряд простых чисел бесконечен.

Если принять за истину обратное, то ряд простых чисел а, b, ..., m ограничен и содержит в себе их все. Но если мы повторим предыдущее доказательство, то получим число, отличное от а, b, ..., m, значит, последовательность не включает в себя все числа.

Однако Евклид не мог совершенно избежать использования актуальной бесконечности. Например, он пишет:

Книга I, определение 23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны не встречаются.

РИС. 6

РИС. 7

В этом утверждении прямо говорится о неограниченности, то есть подразумевается актуальная бесконечность. В той же первой книге это слово встречается еще в двух предложениях: в формулировке и в доказательстве.

Книга I, предложение 12. К данной неограниченной прямой из заданной точки, на ней не находящейся, можно провести перпендикулярную прямую (см. рисунок 6).

Книга I, предложение 22. Из трех прямых, которые равны трем данным, можно составить треугольник (см. рисунок 7).

Что заставляет Евклида бросать вызов аристотелевскому ограничению на использование бесконечности в действительности? Ответ прост. Он хочет, чтобы его утверждения были действительны в общем смысле, то есть не зависели от конкретного рисунка. В первом случае прямая, к которой мы хотим провести перпендикуляр, должна быть достаточно длинной, чтобы гарантировать, что исходная точка этого перпендикуляра будет над ней независимо от конкретной точки на рисунке. Во втором случае три стороны треугольника должны находиться на и над прямой, которая, соответственно, должна быть настолько длинной, чтобы вмещать их независимо от длин сторон, а для этого она должна быть бесконечной. Значит, в некотором смысле ограничение, установленное Аристотелем, отнимает что-то у математиков. Девять веков спустя Прокл в комментарии к первой книге «Начал» выразил свое мнение по этому поводу, анализируя предложение 12:

«Но надо исследовать теоретически, как полагается беспредельное в цельном. Ясно, что если имеется неограниченная прямая, то неограниченна и плоскость, содержащая ее, причем на деле, поскольку задача предложена. [...] Остается считать, что беспредельное существует лишь в воображении, но беспредельное не мыслится воображением. Ведь мыслить — значит придавать мыслимому форму и предел [...] Так что беспредельное относится не к мышлению, но к неопределенному для мысли; и, будучи немыслимым, несоразмерным природе и непостижимым для мысли, оно и называется беспредельным. [...] Воображение порождает его в силу своей нераздельной способности непостижимого порождения и представляет беспредельное по его немыслимости. [...] Так что когда мы полагаем в воображении данную неограниченную прямую, подобно всем прочим геометрическим фигурам, [...] не удивительно ли, как эта линия может быть беспредельной на деле и как она, будучи неопределенной, связана с определенными понятиями? С другой стороны, разум, из которого исходят рассуждения и доказательства, не пользуется беспредельным в науках, [...] беспредельное берется не ради беспредельного, но ради определенного. Ведь если данная точка не лежит на продолжении ограниченной прямой и не отстоит от этой прямой так, что никакая часть прямой не лежит под точкой, у нас не будет никакой потребности в беспредельном. В этом случае пользуются ограниченным, как не подлежащим проверке и бесспорным».

В этом тексте сделан большой шаг вперед по сравнению с предыдущими рассуждениями о бесконечном. Однако лишь благодаря исследованиям немецких ученых Рихарда Дедекинда (1831-1916) и особенно Георга Кантора (1845-1918) — всего через 50 лет после того, как Лобачевский и Бойяи расправились с пятым постулатом, — актуальная бесконечность стала частью математики. Так был положен конец философско-научной традиции, длившейся более 2000 лет.

ГЛАВА 4

Метод танграма в «Началах»

Одним из важнейших достижений китайской геометрии было изобретение танграма, позволяющего составлять различные фигуры с одинаковой площадью. Древнегреческие математики развили и обобщили эту технику, придав ей огромный дедуктивный потенциал. В частности, метод танграма позволил Евклиду доказать одну из основополагающих теорем древнегреческой геометрии, знаменитую теорему Пифагора, и решить задачи тысячелетней давности, унаследованные от месопотамских мыслителей.

Классический китайский тантрам — это элементарный геометрический метод, который основывается на следующем фундаментальном постулате.

Две фигуры, состоящие из равных частей, равны между собой.

В Китае этот метод был известен с незапамятных времен и назывался qi qiao ban — «семь дощечек мастерства». В Европу танграм попал как игра-головоломка и в таком виде распространился по всему миру. Изначально семь составляющих его частей сложены так, что образуют квадрат (см. рисунок 1 на следующей странице). Площади фигур, составленных из всех этих частей, равны площади квадрата (рисунок 2). Эта особенность позволяет, помимо прочего, показать значение диагонали квадрата. Итак, из данного квадрата можно сложить еще два с равной площадью (рисунок 3). Таким образом, мы видим, что при помощи диагонали квадрата справа можно построить еще один (как данный первоначально) с площадью, вдвое большей. Мы использовали термин «показать», поскольку в этом случае речь идет о простом наблюдении фигур без использования каких-либо логико-дедуктивных методов.

Такой вид рассуждения тесно связан с диалогом Платона о воспоминании «Менон», где Сократ показывает: раб знает то, о чем он не знает, что знает. Рассуждение Сократа строится по принципу следующего: возьмем квадрат (со сплошным контуром, см. рисунок 4). Повторив его четыре раза, мы получим квадрат с пунктирными сторонами, как видно на том же рисунке. Затем проведем диагональ и на ней построим еще один квадрат. Получаем наклонный квадрат с пунктирными сторонами. Очевидно, что площадь этого квадрата равна сумме площадей двух квадратов, равных данному.

РИС. 1

РИС. 2

Танграм работает по такому же принципу, только используются прямоугольные равнобедренные треугольники, построенные на диагонали квадрата, в который части танграма сложены изначально. Евклид использовал в своей геометрии (точнее, в геометрии, основанной на его постулате о параллелях) обобщенный метод танграма: для деления отрезка таким образом, чтобы его части образовывали прямоугольник с площадью, большей, меньшей или равной площади данного квадрата; для геометрического решения месопотамской задачи, применяемой в решении уравнений второго порядка; для построения квадратуры многоугольников — то есть квадрата с площадью, равной площади данного многоугольника; наконец, для определения золотого сечения — операции, заключающейся в разделении отрезка на две части так, чтобы меньшая относилась к большей так, как большая относится к целому.

Евклид располагал базовым инструментом — параллелизмом, с помощью которого смог доказать следующие результаты.

Книга I, предложение 29. Накрест лежащие углы равны между собой.

Книга I, предложение 32. Сумма трех внутренних углов треугольника равна сумме двух прямых углов.

Книга I, предложение 34. Противоположные стороны и углы параллелограммов равны между собой.

РИС.З

РИС. 4

Предложения 29 и 34 позволяют применить обобщенный метод танграма, то есть использовать тантрам, не ограничиваясь изначально заданными фигурами, на которые он разделен. Для этого нужны теоремы, устанавливающие равенство их площадей.

Книга I, предложения 35 и 36. Параллелограммы, находящиеся на одном и том же основании и между одними и теми же параллельными прямыми, равны между собой.

Книга I, предложение 37. Треугольники, находящиеся на одном и том же основании и между одними и теми же прямыми, равны между собой.

РИС. 5

Рисунок 5 иллюстрирует предложения 35 и 26 первой книги.

Евклид говорит, что параллелограммы ВС и IH обладают одинаковой площадью. Сегодня это утверждение кажется нам очевидным. У фигур одинаковое основание и одинаковая высота, а площадь получается путем умножения этих двух величин (хотя это тоже требует доказательства). Однако древнегреческая геометрия оперирует размерами, у которых вследствие несоизмеримости нет длины. Из-за этого один или оба отрезка не могут быть измерены (этот вопрос мы рассмотрим подробнее в главе 5). Следовательно, необходимо найти способ доказать равенство этих двух площадей. Евклид использовал общее понятие 1. Если бы ему удалось доказать, что площади параллелограммов ВС и AJ с общим основанием равны и что площадь второго равна площади параллелограмма IH с которым у него одинаковое основание, то и параллелограммы ВС и IH были бы равны.

Точка обозначает конец линии или ее начало?

Кто знает. Никто.

Мо-цзы (479-400 до н. э.)

Начнем с первого вопроса. Евклид анализирует все фигуры (то есть пользуется методом китайского танграма) и применяет общие понятия 2 и 3. Треугольники BAI и DCJ состоят из белой фигуры и серой, которая является общей для них обоих. Если мы отнимем у них этот общий кусок («от равных отнимем равное»), то получится, что площади четырехугольников BAMD и IMCJ равны, хотя они и имеют разную форму.

Теперь добавим к этим четырехугольникам треугольник АМС (темно-серый), который станет их общей частью. Поскольку мы прибавили «к равным равное», получается, что площади параллелограммов ВС и AJ с общим основанием АС равны. В чем разница между случаем, который мы только что доказали, и общим утверждением предложений 35 и 36 первой книги? Она состоит в том, что, как мы уже видели, в этом случае речь идет не просто о равных основаниях, а об одном и том же основании (в паре ВС и AJ — отрезок АС, в паре AJ и IH — отрезок IJ).

В этом доказательстве Евклид, возможно, использовал предложение 4 из первой книги (критерий равенства по двум сторонам и углу), которое устанавливает равенство треугольников BAI и DCJ. Для этого ему были необходимы некоторые свойства, вытекающие из постулата о параллельных (см., в частности, предложения 34 и 29 первой книги). После того как Евклид пришел к этому результату, он мог использовать метод танграма, при котором части не равны друг другу, но имеют одинаковую площадь. В этом и состоял принцип обобщенного танграма, который Евклид использовал с большим мастерством. Предложение 37 первой книги является простым выводом из предыдущих, поскольку сводится к доказательству того, что площадь треугольников равна половине площади параллелограмма (см. рисунок 6).

Разум не сосуд, который надо наполнить, а факел, который надо зажечь.

Плутарх

Евклид, как до него и другие древнегреческие математики, вывел геометрию на новый уровень и придал ей большую ясность, обобщив простые и очевидные результаты. В данном случае он установил, правда не объясняя это отдельно, а сразу используя в своих доказательствах, что площади можно высчитывать при помощи различных по форме фигур (параллелограммов и треугольников).

РИС. 6

Еще одно геометрическое понятие, позволившее Евклиду использовать обобщенный метод танграма,— гномон. Геродот так говорит о нем во второй книге «Истории»:

«Сесострис разделил землю между всеми жителями и дал каждому по квадратному участку равной величины. От этого царь стал получать доходы, повелев взимать ежегодно поземельную подать.

Если река отрывала у кого-нибудь часть его участка, то владелец мог прийти и объявить царю о случившемся. А царь посылал людей удостовериться в этом и измерить, насколько уменьшился участок, для того чтобы владелец уплачивал подать соразмерно величине оставшегося надела. Мне думается, что при этом-то и было изобретено землемерное искусство и затем перенесено в Элладу.

Ведь «полос» и «гномон», так же как и деление дня на 12 частей, эллины заимствовали от вавилонян».

РИС. 7

Евклид дал определение гномону в книге II, хотя уже в книге I установил характеристики, благодаря которым он имеет такое большое значение.

Книга II, определение 2. Во всякой образованной параллельными линиями площади каждый из расположенных на ее диаметре параллелограммов вместе с двумя дополнениями будем называть гномоном.

Его интересная особенность:

Книга I, предложение 43. Во всяком параллелограмме дополнения расположенных по диаметру параллелограммов равны между собой.

Как видно на рисунке 7, гномоном, согласно определению 2 книги II, является серая фигура, состоящая из четырех частей: двух параллелограммов IH, GC и двух треугольников IGD и JDG, явно равных. Треугольники, на которые параллелограмм делится диагональю, то есть белые и темно-серые, равны по признаку равенства треугольников, то есть применяется общее понятие 3. Следовательно, фигуры разной формы (которые нельзя наложить одну на другую) равновеликие, в этом и заключается обобщенный метод танграма.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

Игра в танграм позволила Евклиду дать очень изящное и в то же время очень оригинальное доказательство теоремы Пифагора.

Доказательство Евклида из предложения 47 книги I.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике ΔАВС квадрат на гипотенузе ВС равен сумме квадратов, построенных на катетах АВ и АС.

Как видно на рисунке 8, из вершины А проводится прямая, перпендикулярная гипотенузе ВС, до пересечения со стороной Н1 квадрата В1. Мы получаем прямоугольники CJ и В]. Необходимо доказать, что прямоугольник С] равен квадрату AD и что прямоугольник BJ равен квадрату AG. Евклид строит треугольники AACI и ADCB. Они равны, как можно легко убедиться, поскольку имеют равные стороны и угол между ними (общее понятие 2). Итак, у треугольника AACI и прямоугольника CJ общая сторона СI, а его вершина А находится на той же параллельной прямой, AJ, на которой у прямоугольника CJ расположена сторона KJ, противоположная стороне CI. Следовательно, площадь прямоугольника CJ в два раза больше площади треугольника ΔACI. Таким же образом, площадь квадрата AD в два раза больше площади треугольника ADCB. Следовательно, площадь квадрата AD равна площади прямоугольника IK (первое равенство, которое мы должны были доказать). Аналогично, площадь квадрата AG равна площади прямоугольника BJ (второе равенство, которое мы хотели доказать). Следовательно, согласно общему понятию 2, теорема доказана.

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ТАНГРАМА В КНИГЕ II

Термин «геометрическая алгебра» в свое время вызывал споры, но в любом случае он очень удобен из-за своей лаконичности. Дисциплина заключается в том, чтобы выразить площади прямоугольников и квадратов в числовой форме. Ее пионерами были Диофант Александрийский и арабские математики. Например, знаменитое дистрибутивное свойство умножения, представленное в алгебраическом виде как а (b + с + d +...) = (a x b) + (a x c) + + (а х d) + ..., в геометрии Евклида будет записано так:

Книга II, предложение 1.

Если имеются две прямые и одна из них рассечена на сколько угодно отрезков, то прямоугольнику заключающийся между этими двумя прямыми у равен вместе взятым прямоугольникам, заключенным между нерассеченной прямой и каждым из отрезков (см. рисунок 9).

РИС. 8

РИС. 9

Аналогичным образом можно выразить и другие алгебраические равенства, например (а ± b)^² = а^² + b^² ± 2ab_y (а + b) х (а - b) = а^² - b^². Рассмотрим только (а + b) х (а - b) = а^² - b^². Будем исходить из альтернативной формулировки предложения 5 книги 2. Возьмем фигуру, как на рисунке 10. Разобьем прямоугольник HJ. В первую очередь установим равновеликость прямоугольников FN и NB, используя свойства гномона. Прямоугольник NB равновелик прямоугольнику BI по построению, так как DB = DF = а, BJ = FH = b, DJ = а + b, JI = DH = а - b. Получается, что прямоугольник HJ состоит из квадрата KD (а^²), поскольку прямоугольники GJ и FN равны, но остается квадрат MG (b^²).

РИС. 10

РИС. 11

Второе применение танграма позволяет доказать, что многосторонние фигуры могут трансформироваться в равновеликий квадрат. Для доказательства мы будем постепенно уменьшать количество сторон многосторонней фигуры, сведя ее к треугольнику. Возьмем многостороннюю фигуру ABCDEFG (см. рисунок 11). Соединим две ее любые вершины, между которыми есть хотя бы одна другая вершина, например D и F. Проведем параллельную прямую через вершину Е. Продлим сторону CD, пока она не пересечет эту параллельную в точке I. Соединим точки I и F. Треугольники IFD и EFD равновеликие (книга I, предложение 35). Таким образом, фигуры ABCDEFG и ABCIFG также равновеликие, но у первой на одну сторону больше, чем у второй. Повторив эту процедуру, мы получим прямоугольник, равновеликий заданному многоугольнику. Следовательно, всякую многоугольную фигуру можно свести к треугольнику.

РИС. 12

Затем мы можем доказать, что любой треугольник можно преобразовать в прямоугольник, что наглядно показано на рисунке 12.

Остается разобрать последний вариант: доказать, что всякий прямоугольник можно свести к квадрату (книга II, предложение 14). Возьмем прямоугольник AD и попробуем преобразовать его в квадрат. Рассмотрим рисунок 13. Отложим отрезок, равный CD, на продолжении стороны АС. Разделим отрезок АВ пополам точкой G. Проведем полуокружность с центром G и радиусом GB и полухорду FC, перпендикулярную АВ и пересекающую ее в точке С. Отрезок FC будет стороной квадрата, равновеликого данному прямоугольнику.

Все эти построения можно сделать исключительно при помощи линейки и циркуля. Необходимо доказать, что FC соответствует нужным требованиям. Рассмотрим отрезки r [=GF=AG=GB] и s [=СС]. Получается, что прямоугольник равновелик (r + s) (r - s), то есть r^² - s^². FC — катет прямоугольного треугольника FCG. По теореме Пифагора его квадрат равен r^² - s^². Следовательно, прямоугольник AD равновелик квадрату ЕС, что мы и хотели доказать. Евклид провел это доказательство при помощи метода танграма; мы же использовали алгебраические формулировки, чтобы упростить объяснение, не искажая его.

РИС. 13

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Золотым сечением называется такое соотношение двух отрезков a и b, при котором соотношение сумм их длин а + b к большей длине а равно соотношению а к b (см. рисунок 14). Предположительно своим названием соотношение обязано частым использованием в произведениях архитектуры и искусства, которым оно придает, как пишут некоторые авторы, особую гармонию. Его также называют золотым отрезком (когда подразумевается некий наибольший отрезок), золотым числом, божественной пропорцией, или, в терминологии Евклида, делением в крайнем и среднем отношении. Оно обозначается греческой буквой фи (Ф) и соответствует значению:

РИС. 14

РИС. 15

Ф = (1+ √5)/2 = 1,618033988749894848204586834365638117720309...

Это иррациональное число, то есть число, которое не может быть представлено в виде дроби целых чисел. С геометрической точки зрения для построения золотого отрезка надо разделить данный отрезок АВ в точке Е так, чтобы квадрат с большей стороной АЕ совпал с прямоугольником с меньшей стороной ЕВ и первоначальным отрезком (книга II, предложение 11), как видно на рисунке 15.

ПИФАГОРЕЙСКАЯ ЗВЕЗДА

Евклид использовал золотое сечение для промежуточного этапа построения правильного пятиугольника, в частности чтобы получить равнобедренный треугольник, у которого углы в основании были бы в два раза больше угла у вершины. Это удивительное построение можно объяснить, только предположив, что у Евклида уже был пример такого пятиугольника, причем идеального, и что анализируя эту фигуру, он пришел к выводу о необходимости вышеуказанного треугольника. Это еще один пример анализа и синтеза, о которых мы говорили в главе 2. Действительно, при рассмотрении пятиугольника видно, что две диагонали и одна его сторона образуют равнобедренный треугольник, углы в его основании вдвое больше угла у вершины. Диагонали ЕВ и AD пересекаются в точке F, которая делит их в крайнем и среднем соотношении. По всей вероятности, правильный пятиугольник имел особое значение для пифагорейской школы, символом которой, как говорят, была пятиугольная звезда, получаемая путем проведения диагоналей внутри фигуры (непрерывные линии).

ЗОЛОТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК

При помощи золотого отрезка можно построить прямоугольник, сторонами которого будут первоначальный отрезок АВ и самая длинная часть золотого отрезка, АЕ; поэтому он и называется золотым прямоугольником. На рисунке 15 мы видим, что точка Е делит АВ в крайнем и среднем соотношении. Особенностью этого прямоугольника является то, что он может самовоспроизводиться следующим образом (см. рисунок 16): меньший отрезок BE делит больший отрезок АЕ в крайнем и среднем соотношении и становится таким образом большим отрезком нового деления (точка J делит отрезок ВН(=АЕ) в крайнем и среднем соотношении). Прямоугольник АН является золотым прямоугольником, так же как ЕН, LH и так далее до бесконечности.

РИС. 16

ЗОЛОТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК И ДОДЕКАЭДР

В заключении «Начал» рассматривается построение Платоновых тел и доказывается, что их существует только пять. В «Тимее» Платон классифицирует природные элементы по пяти телам (см. рисунок 17): тетраэдр он относит к огню из-за его легкости; куб, или гексаэдр, — к земле из-за их стабильности; октаэдр — к воздуху из-за его неустойчивости; икосаэдр — к воде из-за текучести, а додекаэдр — к элементу космоса, пятому, божественному элементу.

РИС. 17

Пять Платоновых тел. Слева направо: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр.

Книга XIII, предложение 18. Кроме упомянутых пяти тел невозможно построить другого тела, заключенного между равносторонними и равноугольными равными друг другу многоугольниками.

Доказательство. Представим, что на листе бумаги стоит точка. Нарисуем вокруг нее 3,4 или 5 равносторонних треугольников, 3 или 4 квадрата и 3 пятиугольника. Если посчитать градусы углов, становится понятно, что другие фигуры невозможны. Следовательно, не могут существовать другие правильные многоугольники, кроме упомянутых выше.

ЗОЛОТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК В ДВУХ ШЕДЕВРАХ

Существует мнение, что золотой прямоугольник встречается во многих произведениях искусства (в частности, в афинском Парфеноне и «Менинах» Веласкеса). Но даже когда искусство прервало классические традиции, как в случае кубизма, прямоугольник остался важным структурным элементом картины. Парфенон — один из самых известных дорических храмов, сохранившихся до наших дней; он был построен между 447 и 432 годами до н.э. Его размеры составляют примерно 69,5 м в длину, 30,9 м в ширину, высота колонн —10,4 м. Храм посвящен богине Афине, которую жители города считали своей покровительницей. А полотно Веласкеса было написано в 1656 году и его размеры — 318 х 276 см. Как видно на рисунках, пропорции их основных элементов образуют золотые прямоугольники. Необходимо уточнить, что хотя эти пропорции и не были результатом специальных построений, все же вряд ли они получились по чистой случайности.

Но существуют ли пять Платоновых тел? Построить первые три относительно легко, а в случае с икосаэдром и додекаэдром все не так просто. Евклид в предложениях с 13 по 17 книги XIII объясняет эти фигуры и вычисляет их стороны

в соответствии с диаметром сферы, в которую они вписаны. Задача сводится к тому, чтобы построить круг, заключающий одну из сторон многоугольника. Это построение является результатом анализа. В качестве примера рассмотрим построение стороны правильного тетраэдра (см. рисунок).

Разделим диаметр АВ круга в точке С так, чтобы АС = 2ВС, Проведем через С прямую, перпендикулярную АВ, пересекающую полукруг ABD в точке D. Проведем окружность с радиусом CD и рассмотрим заключенный в ней равносторонний треугольник. Мы получим три точки: Е, F, G. Проведем через центральную точку Я треугольника EFG прямую НK, перпендикулярную плоскости и равную АС. Соединим К с вершинами Е, F, G и получим тетраэдр. Еще раз отметим, что для этого построения необходимо произвести предварительный анализ, как мы видели в отступлении, посвященном правильному пятиугольнику. Без этого анализа построение невозможно, так как мы не знали бы, какие действия предпринимать.

Францисканский монах и математик Лука Пачоли, итальянец, решает одну из задач евклидовых «Начал». Картина 1495 года, музей и галерея Каподимонте, Неаполь.

Обложка первого английского издания «Начал» Евклида, опубликованного в 1570 году Генри Биллингсли.

«Начала» Евклида. Латинская копия XII века.

Тем не менее в случае с икосаэдром и додекаэдром не все так просто — именно поэтому Гипсикл отвел значительную часть книги XIV построениям этих фигур. Но самое необычное построение предложил Лука Пачоли (1445-1517) в сочинении «О божественной пропорции» (1494). Этот трактат известен не только тем, что в нем крайнее и среднее соотношение получило одно из самых ярких названий, но и благодаря своему научному содержанию, а также великолепным рисункам полиэдров работы самого Леонардо да Винчи. Шедевр Пачоли «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», в котором автор хотел рационализировать бухгалтерские методы того времени, стал завершением математики XIII и XIV веков и открыл новую эру в алгебре.

В 1507 году Пачоли сделал точный перевод «Начал» на латынь. Как видно на рисунке, он вставил один в другой три равных золотых прямоугольника перпендикулярно друг другу по срединной параллели. Затем ему оставалось только соединить ближайшие друг к другу вершины. Чтобы построить додекаэдр, итальянец соединил центры граней икосаэдра. Великолепный пример ясности рассуждений!

ГЛАВА 5

Теория отношений и метод исчерпывания

Одним из важнейших достижений Академии была разработка теории отношений, приписываемая великому древнегреческому математику Евдоксу Книдскому.

Благодаря ей Евклид смог сделать шаг вперед по сравнению с прямыми и окружностями и заняться изучением объемов. Еще одной знаменательной находкой классической математики был метод исчерпывания, с помощью которого Евклид решил задачу, унаследованную еще от Древнего Египта и связанную с расчетом объема пирамиды.

Как мы уже говорили, V книга «Начал» не зависит от предыдущих, хотя после установления теории отношений между величинами они становятся необходимы для применения общей теории геометрии. Этот метод практически единогласно приписывается Евдоксу Книдскому.

ПОНЯТИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Первая проблема — похожая на заключенную в понятии прямой, но более сложная — кроется в самом термине «величина». Евклид использовал его, нигде не объясняя его значения. Любопытно, что Архимед, напротив, избегал этого термина и говорил только о «прямых, поверхностях и телах». Отсутствие определения величины вызвало серьезные философские споры, оказавшие влияние и на математику. Главный вопрос, вокруг которого развернулась дискуссия, звучал так: можно ли разделять величины до бесконечности? Самый заметный вклад в его решение внес Зенон Элейский со своими апориями, или парадоксами.

Зенон предложил собственную формулировку вопроса о величинах, в которой рассматривал время и пространство: они делимы до бесконечности или же состоят из неделимых мгновений и промежутков? Для древнегреческой философии того времени обе гипотезы были неприемлемы. Первая подразумевает, что мы должны принять актуальную бесконечность, которую, как мы уже знаем, Аристотель отверг окончательно и бесповоротно в IV веке до н. э., а во второй кроется парадокс: каким образом, соединяя «мгновения» или «неделимые промежутки», которые не содержат в себе ни времени, ни пространства, то есть нулевые, мы получаем некий временной или пространственный промежуток, отличный от нуля? Зенон пошел еще дальше и сформулировал четыре парадокса, о которых рассказывается в «Физике» Аристотеля. Два из них вытекают из гипотезы о том, что время дискретно и состоит из частей, не содержащих времени, а два других — из представления, согласно которому и время, и расстояние можно дробить до бесконечности. Рассмотрим два парадокса — по одному каждого типа.

Я постоянно встречаю людей, которые сомневаются, обычно без всякой на то причины, в своих математических способностях. В первую очередь надо выяснить, понимают ли они что-нибудь в геометрии. Не важно, что они не любят или что для них сложны другие области математики.

Джон Литлвуд

АПОРИЯ «СТРЕЛА»

Вспомним стрелу, выпущенную Улиссом, чтобы доказать, что он и есть муж Пенелопы и готов защитить ее от разгула женихов. За мгновение своего полета стрела не двигается, потому что если бы она двигалась, то ей потребовалось бы полмгновенья, чтобы пройти половину этого отрезка. Но этой половины не существует, поскольку мы предполагаем, что мгновенье — это минимальная временная единица. Значит, на самом деле стрела не двигается. Но если она не двигается «ни в один миг своего полета», то как она попала из лука в грудь Антиноя — первого жениха, убитого Улиссом? Можно было бы ответить, что за мгновение стрела передвигается на невидимое расстояние, то есть расстояние без расстояния. Но это вернуло бы нас к исходной точке: как можно получить расстояние, складывая «невидимые расстояния» (то есть нулевые)?

ЗЕНОН ЭЛЕЙСКИЙ

Зенон родился в Элее, современной Кампании, в 490 году до н.э. Он был учеником Парменида (ок. 540-475 до н. э.) и вместе с ним в середине V века до н. э. переехал в Афины, где, по свидетельству Платона, познакомился с тогда еще молодым Сократом. Зенон умер в 430 году до н. э., пытаясь освободить свою родину от поработившего ее тирана. Легенда гласит, что он отрезал себе язык, чтобы не выдать имена других заговорщиков.

От его сочинения «О природе», в котором он отстаивает тезисы Парменида, до нас дошло пять фрагментов. Благодаря комментариям Симпликия (490- 560) к аристотелевской «Физике» они считаются подлинными. В этом тексте, чтобы доказать свои гипотезы и опровергнуть теории противника, тезисы доводятся до абсурда (что-то вроде апагогии применительно к философии) методом рассуждений (logoi). Благодаря своим апориям Зенон может считаться отцом парадоксальных рассуждений: он никогда не доказывал тезисы своего учителя напрямую, а тонко запутывал противника, приводя его к неприемлемым выводам. В его философии существует только одно бытие, единое и неподвижное. Множественность и движение ведут к концептуальному несоответствию. Благодаря Аристотелю мы знаем четыре апории: о стреле, черепахе, движении и стадионе.

АПОРИЯ «АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХА»

Ахиллес, более быстрый, чем черепаха, никогда ее не догонит, если она в момент движения находится на некотором расстоянии впереди. Ахиллес начинает движение из точки А, чтобы догнать черепаху, находящуюся в точке 5 (см. рисунок). Как бы быстро ни бежал Ахиллес — если только его скорость не бесконечна, что недопустимо,— когда он достигнет точки В, черепаха, как бы медленно она ни ползла, уже будет в точке B1. Поскольку мы предполагаем, что пространство дискретно и его можно делить бесконечно, то между двумя точками B и B1 всегда будет некоторое расстояние. Пока Ахиллес преодолевает отрезок BB1, черепаха дойдет до точки B2, и так до бесконечности. За конечный промежуток времени Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Необходимо было преодолеть эту двойственность, чтобы дать геометрии твердые основы. Геометрические величины — линии, поверхности и тела — являются делимыми до бесконечности или состоят из атомов? Евклид в «Началах» и Архимед в «О шаре и цилиндрах» утверждают, что...

«...величины делимы до бесконечности и, следовательно, не содержат атомов».

Ахиллес и черепаха.

Таким образом, делая выбор из двух одинаково приемлемых (или неприемлемых) положений, мыслители преодолевают сложности, возникающие из-за отсутствия четкого определения величины. Вполне вероятно, что в геометрии важнее не что такое величина, а как с ней работать. Однако отсутствие концептуальной ясности в какой бы то ни было области может привести к парадоксальным ситуациям, которые невозможно предвидеть в самом начале. Как трактуются величины в «Началах»? Нарушает ли это понятие строгий порядок изложения геометрической теории?

ЕДИНИЦА ИЗМЕРЕНИЯ

Если вместо UV мы выберем единицей измерения

U₁V₁ = k x UV = UV + ...(k раз) + UV, то

AB = m/k x U₁V₁ и CD = n/k x U₁V₁.

Другими словами, k х АВ = m х U₁V₁, k x CD = n x U₁V₁, и они относятся друг к другу как m/n, поскольку, по предложению 3 книги V,

АВ/CD = (k x AB)/(k x CD) = (m x U₁V₁)/(n x U₁V₁) = m/n.

Если мы говорим об отношении между величинами, необязательно использовать отдельную единицу измерения для каждого типа величины.

НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Уже в пифагорейской школе обозначился кризис, позже названный некоторыми историками первым кризисом устоев математики. Ранее считалось, что два отрезка всегда соизмеримы. Если даны два отрезка АВ и CD, всегда можно найти общий для них обоих (с точки зрения их размера) отрезок UV] другими словами, всегда существует отрезок UV, который точно измеряет эти два отрезка. Следовательно, АВ = m х UV, a CD = n х UV. Мы также можем сказать, что между АВ и CD есть отношение, которое выражается как m/n, или m : n. Понятие отношения имеет огромное значение, поскольку позволяет обойтись без конкретного мерного отрезка UV. Не важно, какую меру длины мы используем — метры, сантиметры или километры, — отношение двух длин не меняется в зависимости от изменения единицы их измерения. Но не всегда мы можем выразить это отношение в виде чисел: не все можно свести к числовым вычислениям (с натуральными числами, то есть положительными и целыми). Если взять теорему Пифагора, можно вычислить диагональ АС квадрата с произвольной стороной АВ (см. рисунок 1). Поскольку АС = АВ,

АС^² = АВ^² + ВС^² = АВ^²+АВ^² = 2хАВ^².

Предположим, что АВ и АС несоизмеримы. Мы получим: АВ = m х UV, АС = n х UV. Следовательно, АВ^² = m^² х UV^², АС^² = n^² х UV^². Отсюда n^² х UV^² = 2 х m^² х UV^² и, следовательно, n^² = 2 х m^², что невозможно. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Все, что мы только что рассмотрели (это не объясняется отдельно в «Началах», но позволяет лучше понять результаты и пределы такого объяснения), стало трагедией для пифагорейской школы, которая утверждала, что «[натуральное] число есть отношение всего ко всему».

РИС. 1

По мнению пифагорейцев, все можно было измерить натуральными числами, другими словами, все величины соизмеримы между собой. Но, как мы только что увидели, существуют отрезки, у которых нет никакой общей единицы измерения. Более того, Феодор Киренский разработал метод для геометрического построения бесконечного числа несоизмеримых отрезков — спираль Феодора Киренского. Она строится начиная с отрезка, длина которого принимается за единицу. С помощью итеративного алгоритма затем строится последовательность прямоугольных треугольников с общей вершиной, а первоначальный отрезок остается коротким катетом первого из них (см. рисунок 2).

РИС. 2

Гипотенузы прямоугольных треугольников, составляющих спираль, последовательно равны квадратному корню из 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 (хотя третье число в этой последовательности является натуральным — 2). Большая часть этих чисел иррациональные, то есть их нельзя записать как отношение двух натуральных чисел. Сегодня мы бы сказали, что любое действительное число (этого понятия в Древней Греции не существовало), выраженное как √n, где n — натуральное число, не являющееся идеальным квадратом (то есть квадратом без десятичных долей другого целого числа), иррациональное. Изучению несоизмеримых линий Евклид посвятил книгу X.

ИТЕРАТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ СТОРОН И ДИАГОНАЛЕЙ КВАДРАТА

Несоизмеримость стороны и диагонали квадрата можно доказать чисто геометрически, в том числе и методом доведения до абсурда. Для этого надо применить итеративный алгоритм: исходя из конкретного случая строятся другие, более мелкие фигуры, сохраняющие такие же соотношения. Рассмотрим квадрат ABCD со стороной а=АВ и диагональю d = АС.

Отложим сторону на диагонали. Мы получим отрезок АВ’. Проведем касательную к полуокружности ВВ', касающуюся ее в точке В она пересечет сторону ВС в точке А'. Соединим В' и А' и получим прямоугольный равнобедренный треугольник СВ'А' и квадрат СВ'А'D'. Мы построили новый квадрат со стороной А'В' = АС - АВ [а' = d - а] и диагональю А'С = ВС - А'В [d' = а - а' ], где АС > А'С и АВ > В'С. Ясно, что если u измеряет одновременно и а = АВ, и d = АС, то будет измерять а' и, следовательно, d'. Мы можем повторить проделанное и получить пары [a, d] > [а', d ] > [а", d"] > [а'", d'"] > ... соизмеримых сторон и диагоналей квадратов. В какой-то момент диагональ или сторона станут меньше единицы измерения и, что невозможно.

ПОНЯТИЕ ОТНОШЕНИЯ

Но возможно ли рассмотреть соотношение несоизмеримых величин? Отвечая на этот вопрос, нельзя не обратиться к наследию гениального Евдокса Книдского, автора идей, содержащихся в V и VI книгах. Начнем анализ книги V с первых четырех определений.

Определение 1. Часть есть величина от величины, меньшая от большей, когда она измеряет большую.

Определение 2. Кратное же — большая от меньшей, когда она измеряется меньшей.

Определение 3. Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству.

Определение 4. Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга.

В понятиях части и кратности содержится также понятие соизмеримости или делимости. Кратное число — повторение одной и той же величины определенное количество раз. Если у нас есть величина A, a m — произвольное натуральное число, то кратное будет m х A. Оно равно сумме величин A, взятых m раз. Делитель или часть D величины A — это величина «такого же рода», что и A, такая что A кратна D то есть такая, что если взять определенное натуральное число m, то A = m х D. Подразумевается, что мы знаем, в каких случаях величина «больше, равна или меньше другой», и это, как мы увидим, имеет огромное значение.

Зенон и Евдокс были представителями двух совершенно противоположных школ в математике: критически- деструктивной и критически-конструктивной. Оба были проникнуты столь же сильным критицизмом, как и их последователи...

Эрик Белл «Творцы математики»

Существуют объекты, подтверждающие определение, — свойства, которые устанавливаются в постулате или предложении. Это придает определению смысл. Но есть и другие объекты — не подтверждающие определение.

Возникает следующий вопрос: есть ли в «Началах» пары величин, не связанные никаким отношением? Ведь определение не может и не должно устанавливать, что «все величины, взятые кратно, имеют отношение между собой». Архимед не попал в эту ловушку, и в работе «О шаре и цилиндре» (пятое допущение, или постулат Архимеда) мы читаем:

Большая из двух неравных линий, поверхностей или тел превосходит меньшую на такую величину, которая, будучи складываема сама с собой, может превзойти любую заданную величину из тех, которые могут друг с другом находиться в определенном отношении.

ЕВДОКС КНИДСКИЙ

Древнегреческий математик и астроном Евдокс (ок. 408-355 до н.э.) родился и умер в Книде. Он был сыном Эсхина и учеником Платона, происходил из семьи медиков и также несколько лет занимался медициной. В возрасте 23 лет Евдокс уехал в Афины и поступил в Академию Платона, где изучал философию. Несколько лет спустя он узнал об астрономических исследованиях, проводимых в то время в Египте. Питая огромный интерес к этой дисциплине, Евдокс решил переехать в Гелиополь. Благодаря поддержке и покровительству царя Агесилая у него был доступ к результатам исследований и теориям священнослужителей города. Вернувшись в Грецию, Евдокс основал собственную школу философии, астрономии и математики. Впоследствии он написал свою первую книгу «Явления», в которой рассматривал восходы и закаты звезд. Его геометрия (в частности, теория отношений и метод исчерпывания) оказала большое влияние на Евклида.

Теория отношений была самым древним решением проблемы иррациональных чисел, а метод исчерпывания позволил ему решать задачи нахождения площадей и объемов, напримерплощади круга, пропорциональной квадрату его диаметра, и объема пирамиды, который равен трети призмы с таким же основанием и такой же высотой. Большой интерес представляют определения 3 и 4. Выражение «некоторая зависимость» не имеет смысла. К тому же Евклид пишет об отношении по количеству, которого в случае несоизмеримости не существует. Четвертое определение заслуживает более пристального анализа:

Величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. 

Это определение устанавливает, при каких условиях две величины «имеют отношение между собой»; если они не выполнены, между ними не будет отношения. Сравним это определение со следующими.

Утверждение

Определение

Две прямые параллельны друг другу,

если они, продленные бесконечно, не встречаются.

Одна прямая перпендикулярна другой,

если при их пересечении образуются прямые углы.

Две величины имеют отношение между собой,

если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга.

Число является простым,

если измеряется только единицей.

Два числа простые между собой,

если их единственная общая часть — единица.

ПОНЯТИЕ ПРОПОРЦИИ

Для математика не так важен онтологический аспект («что это?»), сколько методологический («как это работает?»). Следовательно, его интересует, одинаковы два соотношения, или одно больше другого, даже если ему и не совсем ясно, что такое, собственно, соотношение. Именно об этом говорится в определениях 5, 6 и 7.

Определение 5. Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.

Определение 6. Величины же, имеющие то же отношение, пусть называются пропорциональными.

Определение 7. Если же из равнократных кратное первой превышает кратное второй, а кратное третьей не превышает кратного четвертой, то говорят, что первая ко второй имеет большее отношение, чем третья к четвертой.

Возьмем две пары однородных величин: А — В и Г — Δ (термин «однородные» нигде не объясняется, но очевидно, что имеются в виду две поверхности, два числа, два тела и так далее; напротив, линия, число и тело будут неоднородными величинами). Каждая пара образует соотношение, которое мы запишем как

А/B и Г/Δ.

Возникает вопрос: в каком случае мы можем сказать, что

А/B = Г/Δ, а когда А/B > Г/Δ ?

Теперь возьмем два произвольных множителя: множитель т для А и Г и n для В и А. При этом m х А и n х В — однородные величины, значит, их можно сравнивать; то же верно и для m х Г и n х Δ.

Следовательно, каково бы ни было значение множителей тип, каждый раз, когда мы имеем

то имеем и

То есть А/B = Г/Δ

Если же у нас такая пара множителей при которых

m х A > n х B, но m х Г < n х Δ,то

А/B > Г/Δ

Из-за чего Евклиду понадобилось такое сложное определение? Из-за несоизмеримости. Рассмотрим одно и то же предложение в двух разных случаях: в первом отрезки будут соизмеримы, а во втором — нет.

Книга VI, предложение 1. Треугольники и параллелограммы, имеющие одинаковую высоту, относятся друг к другу как их основания.

Рассмотрим доказательство этого предложения в случае соизмеримости. Если основания двух треугольников соизмеримы, то мы можем использовать общий измеритель для того, чтобы разложить их на равновеликие треугольники методом танграма (см. рисунок).

Если АВ и ΓΔ являются соизмеримыми основаниями двух треугольников, заключенных между одними и теми же параллельными, то существует общий отрезок LM, который делит основание АВ на т количество частей и основание ΓΔ — на п количество частей. Если мы соединим точки концов каждого из т отрезков, на которые LM делит основание АВ с вершиной С, и точки концов каждого из п отрезков, на которые LM делит основание ΓΔ с вершиной Е, то получим, соответственно, тип количество треугольников, равновеликих треугольнику LMN, где N — любая точка, взятая на прямой СЕ, параллельной А. Следовательно, АВС = m х (LMN), ΔΓΕ = m х (LMN). То есть

АВ/ΔΓ = (m х LM)/(n х LM) = (m х (ΔLMN))/(n х (ΔLMN)) =  ΔABC/ΔAГ.

РИС. 3

РИС. 4

Но если отрезки АВ и ΓΔ взяты произвольно, мы не можем знать, соизмеримы ли они. Действительно, любой отрезок имеет гораздо больше несоизмеримых ему отрезков, чем соизмеримых. Таким образом, доказательство, изложенное выше, является не общим, а, напротив, сугубо частным случаем. Рассмотрим теперь общее доказательство. Оно будет основано на следующей идее: если метод танграма нельзя применить внутри фигуры, это не значит, что его нельзя применить вне ее. Вместо того чтобы строить общий треугольник и помещать его в каждый из заданных, построим отрезки, равные каждому основанию, и соединим получившиеся точки с вершиной, как показано на рисунке 3. Таким образом, мы получим треугольники, кратные тип раз заданным:

ΔΑ"CΒ = m x (ΔΑCΒ), ΔΝ'" РМ = n x (ΔΝΡΜ).

Не нужно верить никаким предсказаниям, сделанным по гороскопам, основанным на дате рождения. Влияние звезд настолько трудно рассчитать, что на Земле нет никого, кто мог бы это сделать.

Евдокс

Теперь мы должны только убедиться, что из двух треугольников, заключенных между двумя параллельными прямыми (то есть одинаковой высоты), большая площадь — у того, у которого большее основание. Ответ, разумеется, утвердительный (см. рисунок 4). Основание АВ меньше основания ΓΔ. Следовательно, мы можем отложить АВ на ΓΔ (в «Началах» не объясняется понятие большего и меньшего, но интуитивно всегда используется верно: большее — то, что содержит часть, равную меньшему) и построить треугольник, равный АСВ, внутри ΓΕΔ.

Значит, площадь треугольника с большим основанием больше. Следовательно, если

то

Теперь, применив определение Евдокса, мы получаем, что

АВ/ΓΔ = ΔАСВ/ΔΓΕΔ,

Ч.Т.Д.

В предыдущем примере мы установили равенство соотношений между парами величин различных видов: прямых в первом случае и площадей — во втором. Отсюда вытекает необходимость уточнения, которое содержится в определении 5 книги 5. Благодаря этим определениям Евклид располагал весьма полезным инструментом для получения конкретных геометрических результатов в области прямых и плоских многосторонних фигур. Эти результаты составляют основное содержание книги VI, в которой Евклид излагает в том числе предложения, указанные в следующей таблице. Это геометрическое ядро теории отношений.

Применение теории отношений в геометрии

Предложение

Название

Содержание

2

Теорема Фалеса

Если в треугольнике параллельно одной из сторон проведена некоторая прямая, то она рассечет стороны треугольника пропорционально.

19

Теорема сторон

Подобные треугольники находятся друг к другу в двойном отношении соответственных сторон.

5, 6 и 7

Теоремы площадей

Критерий пропорциональности трех сторон; критерий пропорциональности двух сторон и критерий равенства одного угла.

11 и 13

Критерий подобия треугольников

Треугольники могут быть построены, исходя из двух данных прямых.

12

Третья и средняя пропорциональная (теорема высот прямоугольных треугольников)

Треугольник может быть построен, исходя из трех данных прямых.

8 (вывод)

Четвертая пропорциональная

Если в прямоугольном треугольнике из прямого угла к основанию проведен перпендикуляр, то треугольники при перпендикуляре подобны и целому, и между собой.

МЕТОД ИСЧЕРПЫВАНИЯ

У теории отношений открылся огромный — и неожиданный, что говорит о гениальности Евдокса,— математический потенциал для определения площадей и объемов. Для этого метод танграма должен был применяться до бесконечности, что невозможно из-за наложенного Аристотелем ограничения. Следовательно, необходимо прибегать к двойному методу доведения до абсурда — в XVII веке его назвали методом исчерпывания. Евклид использовал его для доказательства следующих предложений.

Книга XII, предложение 2. Круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров.

S₁/S₂ - d₁²/d₂²

Книга XII, предложение 7. Всякая призма, имеющая треугольное основание, разделяется на три равные друг другу пирамиды, имеющие треугольные основания.

P₁/П₁ = 1/3

Книга XII, предложение 18. Сферы находятся друг к другу в тройном отношении собственных диаметров.

Е₁/Е₁ = d₁³/d₂³

АРХИМЕД И КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ

Рассмотрим, как Архимед использовал метод исчерпывания для решения задачи о квадратуре параболы. В некотором смысле оно похоже на решение задачи о квадратуре круга, предложенное Евклидом. Его основная цель — вписать в площадь параболы треугольники и сложить их площади, уже известные нам. Архимед писал:

Квадратура параболы. Площадь сегмента параболы относится к площади вписанного в нее треугольника как один к трем.

Рассмотрим треугольник АСВ, вписанный в сегмент параболы ADCEBA, где вершина С — точка, через которую проходит касательная к параболе, параллельная хорде АВ. В этом случае Архимед утверждал, что площадь S (ADCEBA) равна 4/3 площади треугольника Т = АСВ. То есть

S(ADCEBA) = 4/3 x S(ΔABC) = 4/3 х Т,

Теперь мы должны вписать в оставшиеся сегменты параболы треугольники Т₁ = ADC, Т₂ = ВЕС и сегменты ADA, DCD, СЕС, ВЕВ и так до бесконечности, поскольку величины делимы до бесконечности. Все это бесконечное множество треугольников покрывает площадь, равную трети треугольника Т=АСВ. Тем не менее прибегать к бесконечному необязательно, так как мы можем воспользоваться методом исчерпывания. Можно убедиться с помощью танграма, что треугольники Т₁ = ADC и Т₂ = ВЕС «покрывают соответственно больше половины сегментов параболы ADCA и ВЕСВ». Очевидно, что площадь треугольника T₁=ADC равна половине прямоугольника АН. При этом сегмент параболы ADCEBA меньше этого прямоугольника.

Следовательно, Т₁ = ADC покрывает больше половины сегмента ADCEBA. То же самое происходит с Т₁ = ADC, сегментом параболы СЕВС и прямоугольником CF. Такой метод рассуждений справедлив последовательно для каждого остающегося сегмента параболы. Важно обратить внимание на то, что хотя в данном случае мы применили его к параболе, он работает и для других кривых, включая окружности.

Однако полностью потенциал этого метода раскрыл Архимед, самый выдающийся математик античности.

Евклид дает следующее определение методу исчерпывания:

Книга X, предложение 1. Для двух заданных неравных величину если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины.

Это предложение равнозначно определению 4 книги V: если верно одно, то верно и другое, и наоборот. Архимед обратил на это внимание и решил ввести предложение в ранг постулата, который сегодня известен как принцип (или аксиома, или свойство) Архимеда.

Принцип Архимеда. Если имеются две величины одного порядка А и B_f то всегда существует натуральное число п_у при котором п х А > В или п х В > А.

Доказав предложение 7 книги XII, Евклид решил задачу расчета объема пирамиды, унаследованную от египетских математиков. Вопрос о возможности ее решения с помощью метода танграма стоял на третьем месте в составленном Давидом Гильбертом в начале прошлого века списке из 23 задач, представляющих особый интерес для математики. Ответ, разумеется, был отрицательным. А предложение 2 дает ответ на один из важнейших вопросов классической геометрии, которому и посвящена следующая глава.

ГЛАВА 6

Квадратура круга

Одним из главных достижений пифагорейской школы было открытие возможности построить квадратуру любой многосторонней плоской фигуры. Но было ли это справедливо для круга и других фигур с одной или всеми изогнутыми сторонами? Этот вопрос занимал не только математиков, но и мыслителей, и со временем выражение «квадратура круга» стало синонимом неразрешимой задачи.

Метод танграма позволяет построить квадратуру любой многосторонней плоской фигуры. Вследствие любви к обобщению древнегреческие геометры задавались вопросом: можно ли свести к квадрату фигуры с округленными сторонами и, в частности, идеальную фигуру — круг? Первым к решению этой задачи приступил гениальный математик Гиппократ Хиосский. Он разработал серповидные фигуры (гиппократовы луночки): одну над окружностью, другую — над меньшей частью окружности и еще одну — над ее большей частью. Для доказательства, основанного на методе танграма, Гиппократу были необходимы два результата:

— теорема Пифагора;

— доказательство того, что соотношение площадей двух окружностей равно соотношению квадратов их диаметров.

Маловероятно, что Гиппократ располагал этими доказательствами: скорее всего, он интуитивно догадался об их существовании. Сейчас мы подробно рассмотрим решение задачи квадратуры луночки над окружностью.

Рассмотрим дугу AGB, проведенную над стороной АВ квадрата ADEB_y и полуокружность АСВ. Между ними находится луночка AGBCAy выделенная на рисунке 1 серым цветом. Докажем, что ее площадь равна площади равнобедренного ΔАСВ. Луночка состоит из треугольника АСВ за вычетом сегмента S плюс два равных сегмента S₁ и S₂:

площадь AGBCA = площади АСВ — S + (S₁ + S₂).

Так Гиппократ применяет метод танграма. Все сводится, следовательно, к доказательству того, что S = S₁ + S₂. Из теоремы Пифагора мы знаем, что

АВ^² = АС^² + СВ^². (*)

РИС. 1

Теперь достаточно объединить площади поверхностей S с указанными выше квадратами. Как мы уже сказали, Гиппократ предполагал, что круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров, то есть выполняется соотношение

S/АВ² = S₁/AC² = S₂/CB²

Следовательно,

S/AB² = (S₁ + S₂)/(АС² + СВ²)

(исходя из предложения 12 книги V). Согласно (*) получается, что S = S₁ +S₂. Действительно, очень изящное доказательство! Так была открыта дорога к решению задачи о квадратуре круга.

БЕСКОНЕЧНЫЙ РЯД

Древнегреческие софисты Антифонт (480-411 до н. э.) и Брисон (ок. V века до н. э.) также занимались вопросом квадратуры круга и пришли к простому и бесспорному на первый взгляд выводу. Они предлагали описать круг методом приближения вписанных в него (Брисон добавлял — и описанных) многоугольников, построенных путем разделения пополам каждой стороны круга, то есть переходя от квадрата к восьмиугольнику, 16-угольнику и так далее. Таким образом можно получить последовательность плоских прямоугольных фигур, которые содержат в себе круг (см. рисунок 2). Вписывая в него и описывая вокруг него квадрат, 8-, 16-угольник и так далее, мы получаем последовательность плоских прямоугольных фигур, содержащих круг, причем все они сводимы к квадрату:

P₄ < P₈ < P₁₆ < ... < Ρ₂n <···< Ρ₂n <···< Ρ₁₆ < Ρ₈ < Ρ₄.

РИС. 2

Но есть ли гарантия, что все фигуры этого бесконечного ряда будут сводимы к квадрату? Напомним, что Аристотель запретил прибегать к понятию бесконечности — чтобы сделать невозможными подобные рассуждения. Рассмотрим следующее предложение, явно неверное:

Две стороны треугольника равны по длине третьей стороне (рисунок 3 на следующей странице).

Мы видим, что длина отрезков, составляющих ломаную линию, идущую от точки А до точки В, равна сумме длин сторон АС и СВ: АС + СВ = АС₁ + С₁А₁ + А₁С"₁ + С'₁В.

Если мы доведем эту последовательность до предела, ломаная линия сольется со стороной АВ, что доказывает ложность данного предложения. Гипотеза, верная до того, как ее «довели до предела», может оказаться ошибочной после этого.

РИС. 3

ПЛОЩАДЬ КРУГА В НАЧАЛАХ»

Евклид открывает книгу XII двумя предложениями, которые устанавливают одну и ту же теорему для правильных многоугольников, вписанных в круг, и для круга.

Книга XII, предложение 1. Подобные многоугольники, вписанные в круги, будут относиться друг к другу как квадраты диаметров этих кругов.

Книга XII, предложение 2. Круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров.

Первое предложение является прямым следствием теоремы Фалеса применительно к площадям, поскольку достаточно убедиться, что каждый из центральных треугольников, на которые раскладываются правильные многоугольники, подтверждает теорему Фалеса. Второе можно было бы доказать методом бесконечного ряда, но рассуждения, в которых используется понятие бесконечности, были неприемлемы для древнегреческих ученых (хотя в этом случае это было бы правильно). Евклид мог бы довести до предела предложение 2 книги XII таким образом: если для каждого многоугольника п вида п=2k справедливо соотношение

Р¹_n/d²₁ ⁼ Р²_n/d²₂

и в самом крайнем случае Р¹_n равно S₁ а Р²_n равно S₂ то есть от многоугольника переходим к кругу и получаем:

S₁/d²₁ = S₂/d²₂

Ч.Т.Д.

РИС. 4

Правильные многоугольники с 4,8,16,... сторонами все больше заполняют площадь круга.

Отказавшись от предела последовательности, нам остается только применить метод исчерпывания, то есть доказать, что квадрат, вписанный в круг, покрывает больше половины его площади. Если мы добавим треугольники, чтобы получить из квадрата восьмиугольник, получится больше половины площади, оставшейся после того, как мы уберем треугольник, и так далее. В какой-то момент вписанная в круг S многосторонняя фигура Р2k заполнит его так, что оставшееся пространство будет меньше любой другой предыдущей фигуры (см. рисунок 4).

Обратим внимание, что аналогично сказанному в предыдущей главе касательно сегмента параболы равнобедренный треугольник, который мы добавили к каждой стороне квадрата, чтобы получить восьмиугольник, покрывал более половины сегмента окружности, то есть четверть того, что остается от круга, когда мы убираем вписанный квадрат. Затем мы применили те же самые рассуждения к равнобедренным треугольникам, которые строятся на сторонах правильного восьмиугольника, чтобы получить 16-угольник, и так далее. Каждый раз фигуры покрывают более половины, что и необходимо для применения метода исчерпывания.

Пользуясь этим инструментом, Евклид выдвинул два предположения: соотношение площадей либо больше соотношения квадратов диаметров, либо меньше. Запишем оба случая:

(1) S₁/S₂ < d²₁/d²₂ или (2) S₁/S₂ > d²₁/d²₂

В обоих случаях мы приходим к противоречию. Следовательно, соотношение между площадями и квадратами диаметров есть соотношение равенства.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ 2 ИЗ КНИГИ XII

В случае когда

S₁/S₂ < d²₁/d²₂ (1)

предположим, что существует такая площадь S < S₂, для которой

S₁/S₂ = d²₁/d²₂

Затем рассмотрим площадь Е = S₂ - S. Метод исчерпывания гарантирует, что существует некий многоугольник Р₂, вписанный в S₂, который заполняет его так, что S₂ - Р₂ < Е = S₂ -S. Это приводит к неравенству S < Р₂. Теперь рассмотрим многоугольник Р₂, вписанный в круг (то есть Р₂ < S₁, подобный P₂. Из предложения 1 книги XII мы знаем, что

P¹_n/P²_n = d²₁/d²₂ ,

где n = 2^k. Исходя из общего понятия 1 мы имеем

P¹_n/P²_n = d²₁/d²₂ = S₁/S₂,

где S < Р₂ и Р₂ < S₁, что противоречит определению равенства соотношений (книга V, определение 5). Следовательно, первое допущение (1) неверно. Затем Евклид таким же образом рассматривает второе допущение

S₁/S₂ > d²₁/d²₂ (2)

и приходит к выводу, что оно также неверно. Следовательно, отношение должно быть следующим:

S₁/d²₁ = S₂/d²₂

Возникают два вопроса. Откуда Евклид знал, что он должен был доказать? Другими словами, почему он взял соотношение именно между площадями и диаметрами? Он неявно использовал метод доведения до предела, который мы рассмотрели выше? Мы не знаем. С другой стороны, для доказательства (1) Евклид предположил существование площади S < S₂, при которой

S₁/S = d²₁/d²₂ .

Это означает, что при данных площадях S₁, d²₁, d²₂ он предположил существование «площади S, являющейся четвертой пропорциональной». Однако Евклид доказал ее существование только для трех прямых, а не для трех площадей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА π

Во второй половине XIX века англичанин Генри Ринд приобрел папирус, датированный примерно 1650 годом до н.э. и названный впоследствии его именем. Этот папирус, в свою очередь, был копией еще более древнего папируса, 1800 года до н.э., и содержал задачи по определению объема цилиндрических силосов для хранения зерна. Его автор, писец Ахмес, хотел узнать площадь круга, лежащего в основании цилиндра, что привело его к определению числа π. В древности его обычно считали равным 3. Однако Ахмес предложил более точное значение π, приблизительно сведя окружность к восьмиугольнику

Дан квадрат, состоящий из девяти частей по сторонам. Разделим его на девять квадратов так, что сторона каждого из них будет равна трем этим частям. Уберем четыре прямоугольных треугольника с вершинами, образующимися при проведении диагонали. Площадь получившегося восьмиугольника будет равна

9^² - 4 x (3 x 3)/2 = 81 -18 = 63

частей в квадрате. Построим площадь круга с диаметром, равным девяти частям и 64 частям в квадрате [то есть 64 — квадрат числа]. Значение к при этом приближении будет равно

π = 64/(9/2)² = (16/9)² = 3.16...

Такое значение π, действительное для всех фигур (то есть при любом значении диаметра d), получается при наложении двух плоских фигур — круга и восьмиугольника. Более тысячи лет спустя Архимед, мудрец из Сиракуз, в своем кратком сочинении «Об измерении круга» изложил два новых результата.

Предложение 1. Отношение L/d, возникающее между длиной окружности L и ее диаметром d, будет равно величине, находящейся между 223/71 и 22/7.

Предложение 2. Площадь круга S равна площади прямоугольного треугольника T, катеты которого равны радиусу r круга и длине L его окружности.

В доказательстве предложения 2 Архимед использовал метод исчерпывания, как и Евклид в предложении 2 книги XII. Он предположил, что

(1) S > T, и (2) S < T,

а затем показал: оба варианта ведут к противоречию. Следовательно, S должно непременно равняться Т. Но каким образом он догадался о существовании этого соотношения? Об этом мы никогда не узнаем.

Что касается предложения 1, Архимед использовал длины сторон l₆, l₁₂, l₂₄, l₄₈, l₉₆; L₆, L₂₄, L₁₂, L₄₈, L₉₆, соответствующих вписанным и описанным многоугольникам с 6, 12, 24, 48 и 96 сторонами. Для расчета этих длин он предложил итеративный алгоритм, с помощью которого начиная с ln можно было вычислить длину l_2n, а с помощью L_n — L_2n, где n равно 6. В конце Архимед выразил отношение L₉₆ < L < L₉₆ и пришел к следующему результату:

223/71 < L/d < 22/7

Математик сделал важное наблюдение: соотношение между площадью круга S и радиусом в квадрате r² и соотношение между длиной L окружности и ее диаметром d=2r равны. Числовое значение этого соотношения обозначается буквой π.

Другими словами, Архимед установил, что

S/r2 = L/d = π

Открытия, совершенные Евдоксом и систематизированные Евклидом, позволяют добиться значительных результатов в изучении круга и окружности. Необходимо также учесть, что Архимед использовал периметры, в то время как в папирусе Ринда и тексте Евклида говорится о площадях.

НЕСБЫТОЧНАЯ МЕЧТА

Решение задачи квадратуры круга «по-гречески», то есть при помощи линейки и циркуля, ускользало от геометров на протяжении нескольких столетий. В 414 году до н. э. афинский драматург Аристофан назвал своего персонажа, который хвалился тем, что построил квадратуру круга, шарлатаном. Но трудности не помешали многим выдающимся математикам делать попытки там, где потерпели поражение предшественники. Николай Кузанский (1401-1464), Оронций Финеус (1494-1555) и Грегуар де Сен-Венсан (1584-1667) опубликовали фантастические методы получения квадратуры круга, которые оказались ложными. В то же самое время Джеймс Грегори (1638-1675) и Иоганн Бернулли (1667-1748) разработали различные способы, позволяющие подойти к решению этой задачи с другой стороны. Немецкий ученый Иоганн Ламберт (1728-1777) первым доказал, что число π является иррациональным. Его соотечественник Фердинанд фон Линдеман (1852-1939) в 1880 году открыл, что π — еще и трансцендентное число, то есть не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Это делало невозможным построение квадратуры круга при помощи только линейки и циркуля. Так пришлось отказаться от решения тысячелетней задачи, а мечты легиона искателей квадратуры круга, среди которых были английский философ Томас Гоббс и даже Наполеон, пошли прахом.

ГЛАВА 7

Арифметика в «Началах»

В «Началах» говорится преимущественно о геометрии.

Однако это сочинение также содержит три книги, написанные под явным влиянием пифагорейской школы и не зависящие от остальных. В них Евклид рассказывает об элементарных результатах теории делимости, в том числе о знаменитом алгоритме нахождения наибольшего общего делителя.

Для того чтобы понять книги VII, VIII и IX, необходимо владеть некоторыми основными понятиями. В книге VII Евклид дает все арифметические определения, которыми пользуется позже, но не представляет ни одного постулата. Самыми важными определениями являются следующие.

1 .Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым.

2. Число — множество, составленное из единиц.

3. Часть есть число в числе, меньшее в большем, если оно измеряет большее.

4. «Части же — если оно его не измеряет».

5. Кратное же — большее от меньшего, если оно измеряется меньшим.

6. Четное число есть делящееся пополам.

7. Нечетное число есть [...] отличающееся на единицу от четного числа.

8. Четно-четное число есть четным числом измеряемое четное число раз.

9. Четно же нечетное есть четным числом измеряемое нечетное число раз.

10. Нечетно-четное есть нечетным числом измеряемое четным числом раз.

12. Простое число есть измеряемое только единицей.

13. Простые между собой числа суть измеряемые только единицей как общей мерой.

14. Составное число есть измеряемое некоторым числом.

21. Числа будут пропорциональны, когда первое от второго, а третье от четвертого будут или равнократными, или той же частью, или теми же частями.

23. Совершенное число есть то, которое будет равным своим частям (делителей).

Первое определение является чисто философским. В нем отрицается числовая природа единицы, хотя Евклид использо вал ее как число — например, в следующем определении. Он также различает понятия «часть» (2 — часть 6, так как является его делителем) и «части» (5 — «части» 6 по противоположной причине). Здесь наблюдается аналогия с книгой V, хотя в ней вместо «части» говорится об «отношении», гораздо более сложном понятии. «Части» — основа многих арифметических доказательств Евклида: он рассматривает их в книге VII и прибегает к ним в книгах VIII и IX. Евклид также устанавливает различие между четным числом (N = n + n = 2n) и нечетным (N = 2n + 1) и предлагает классификацию чисел (не очень точную) на основе формул, которые мы сегодня бы записали так:

2^m, 2^m(2n + + 1), (2m +1) (2n + 1). Самые важные понятия книги VII — понятие «первого» (простого) числа, «составного» и чисел, «первых между собой». Определение 20 сегодня выглядело бы так:

m/n = p/q

только если существует такое λ Є Q, при котором если n = λ х m, то q = λ х р.

В заключение Евклид приводит довольно спорное определение совершенного числа, которое вряд ли принадлежит пифагорейской школе VI века. Некоторые приписывают его Гиппократу Хиосскому.

Математика — царица наук, а арифметика — царица математики.

Карл Фридрих Гаусс

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА

Книга VII начинается со знаменитого алгоритма Евклида, который изучается еще в школе:

если даны два числа т и п, то существует число р, являющееся частью и m, и n.

Его смысл заключается в следующем: от большего числа, например m, вычитается меньшее, n, столько раз, сколько возможно. Остается число r < n и рассматривается пара n, r, процедура повторяется несколько раз, в результате чего мы имеем последовательность пар m, n; n, r, r, s; s, t; t, u; ...; х, y, y, z.

В какой-то момент 2 будет равна у, и это означает, что отнимать больше нечего. Выполняя обратное действие, мы убеждаемся, что у является делителем х и, в конце концов, что z делит и m, и n. К тому же это их наибольший общий делитель, так как любой общий для m и n делитель d делит также и 2.

Таким образом, z называется наибольшим общим делителем пары m и n. Сумма общих делителей m и n обычно обозначается как v. Если v равна единице, то m и n являются «первыми между собой». Этот метод определения отношений между числами называется взаимным вычитанием. Мы уже рассматривали его с геометрической точки зрения, когда анализировали несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Основное различие между этими случаями состоит в том, что, согласно Евклиду, в арифметике этот процесс должен рано или поздно подойти к концу, а в геометрии он продолжается до бесконечности.

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА В ДЕЙСТВИИ

Из алгоритма Евклида следует, что

m = q₀ ∙ n + r₁    r₁ < n

n = q₁ ∙ r₁ + r₂    r₂ < r₁

r₁ = q₂ ∙r₂ + r₃   r₃ < r₂

...

r_k-1 = q_k ∙ r_k.

С одной стороны, r_k-2 = q_{k-1 ∙} r_k-1 + r_k, с другой — r_k-1 = q_{k ∙} r_k. Таким образом, r_k-2 = q_k-1 ∙ (q_k ∙ r_k) + r_k = (q_k-1 ∙ q_k + 1) ^_∙ r_k, где q_k-1 ∙ q_k + 1 — натуральное число. Следовательно, r_k является точным делителем r_k-2.

При помощи аналогичного рассуждения, но обращенного вперед, мы получаем, что если d является общим делителем m и n, так как по построению m = q₀ ∙ n + r₁, то r₁ = m - q_{0 ∙} n, где m = m₁ ∙ d, n=n₁ ∙ d. Следовательно, r₁ = m₁ ∙ d - (q₀ ∙ n₁) ∙ d = (m₁-(q_{0 ∙} n₁)) ∙ d. Значит, d является делителем r₁, что и требовалось доказать.

В книге X Евклид использует этот алгоритм для величин вообще, а не только для чисел, и приходит к выводу, что взаимное вычитание имеет конец, только если обе величины соизмеримы и, следовательно, могут быть выражены с помощью чисел. Другими словами, если они несоизмеримы, то взаимное вычитание можно производить бесконечно. Об этом говорится в предложениях 2 и 3 книги X. Несмотря на сделанные открытия, Евклиду не удалось полностью использовать потенциал этого метода так, как это сделали индийские и китайские математики.

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА В ДЕЙСТВИИ

Книга VII, предложение 17. Если число, умножая два числа, производит нечто, то возникающие из них будут иметь то же самое отношение, что и умножаемые [коммутативное свойство результата].

Книга VII, предложение 18. Если два числа, умножая некоторое число, производят нечто, то возникающие из них: будут иметь то же самое отношение, что и умножающие.

Книга VII, предложение 19. m/n = p/q, только если m х q = n х p.

Книга VII, предложение 20. Числа, наименьшие из имеющих то же самое отношение с ними, равное число раз измеряют имеющие то же самое отношение числа, причем большее измеряет большее, а меньшее — меньшее.

Книга VII, предложение 24. Если (p,m) = 1 , то (p,m х n) = 1.

Книга VII, предложение 29. Если p — первое число, не являющееся частью n, то (p,n) = 1.

Книга VII, предложение 30. Если р — первое число и делитель m х n, то p — часть одного из множителей m и n.

Книга VII, предложение 31. Всякое составное число измеряется каким-то простым числом.

Книга VII, предложение 32. Всякое число или простое, или измеряется каким-то простым числом.

Книга IX, предложение 14. Если число будет наименьшим измеряемым данными простыми числами, то оно не измерится никаким иным простым числом, кроме первоначально измерявших его.

Книга IX, предложение 20. Простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел.

В доказательстве 31 книги X Евклид пользуется подразумевающимся постулатом. Он рассуждает следующим образом: пусть N— составное число, тогда его делителем (его частью) будет N’< N. Предположим, что это не простое число. Значит, оно, в свою очередь, составное и имеет делитель (часть) N" < Ν' < N и так далее. Невозможно, что не найдется никакого простого числа Р, потому что в противном случае у нас будет бесконечная последовательность... <Νⁿ< ... < Ν"< Ν'< Ν. Согласно Евклиду, это невозможно. Таким образом, он постулирует невозможность убывающей последовательности первых чисел.

Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человека.

Леопольд Кронекер (1823-1891)

Пьер де Ферма впоследствии назвал это свойство методом бесконечного спуска и достиг с его помощью важнейших результатов, приведших к возрождению арифметики.

Предложение 14 книги IX иногда называют основной теоремой арифметики (каждое целое число больше 1 или простое, или может быть записано в виде произведения простых чисел), выраженной математическим языком той эпохи. Чтобы утверждать это с полным правом, нам нужно знать, отличаются эти простые числа или могут быть равны. Во втором случае мы получим основную теорему.

БЕСКОНЕЧНОСТЬ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

В предыдущих главах мы говорили об ограничениях, наложенных Аристотелем на использование понятия бесконечности. В предложении 20 книги IX {«Простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел») Евклид соблюдает это ограничение и проявляет большую осторожность, чтобы не сказать о «бесконечном ряде простых чисел». И тем не менее существует ли алгоритм, позволяющий получать все больше и больше простых чисел? Евклид ничего не говорил по этому поводу. Лишь позже, в «Арифметике» Никомаха Герасского (ок. 60 — ок. 120) рассказывается о решете Эратосфена — методе, названном по имени изобретшего его математика:

«Способ получения всех этих чисел Эратосфен назвал решетом, потому что здесь сначала берутся нечетные числа, все вместе и без различий между ними, а затем этим производящим методом отделяются, как посредством решета, первичные числа от составных. Способ решета состоит в следующем. Начинают с тройки, а потом располагают в ряд все числа, кратные трем, пропуская два числа через каждые три и убирая третье. Потом переходят к первому оставшемуся числу, пятерке; пропускают четыре числа и убирают пятое; затем то же проделывают с семеркой, и так дальше, начиная всякий раз с первого неубранного числа».

СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА

Хотя Евклид и дал правильное определение простых чисел, а также теорему, чтобы породить совершенные числа, он не снабдил ее никаким примером. Соответствующее предложение может показаться неясным, возможно потому что оно представлено в описательной форме.

Книга IX, предложение 36. Если от единицы откладывается сколько угодно последовательно пропорциональных чисел в двойном отношении до тех пор, пока вся их сумма не станет первым числом, [...] то возникающее число будет совершенным.

Евклид имеет в виду следующее:

Если 1,2, 2², 2³, ..., 2ⁿ последовательно удваивать, то их сумма будет

S_n=1 + 2 + 2² + 2³+...+ 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ -1; если S_n — простое число, то Р_n = 2ⁿ x S_n = 2ⁿx(2ⁿ⁺¹-1) — совершенное число (четное).

Евклиду удалось получить этот результат, потому что в предложении 35 книги IX он уже дал формулу, необходимую для сложения чисел из последовательности 1, 2, 2², 2³, ..., 2ⁿ. Он также обратил внимание, что единственные рассмотренные делители Р, 1, 2, 2², 2³,..., 2ⁿ и S_n, 2 х S_n, 2² х S_n, 2³ x S_n,..., 2^n-1 x S_n. Он сложил их и получил результат теоремы: сумму делителей 1, 2, 2², 2³, ..., 2ⁿ,

равную S_n = 2^{n + 1} - 1, и сумму делителей S_n, 2 x S ,2² x S ,2³ x S ,..., 2^n-1 x S и (2ⁿ - 1) x S . Сумма двух результатов — Р_n = S_n + (2n- 1) х S_n = 2ⁿ х S_n = 2ⁿ х (2^{n + 1} - 1). Ч. Т. Д.

Первые примеры

В «Арифметике» Никомах Герасский устанавливает, что совершенными числами являются 6,28,496 и 8126. Из этого он делает следующие выводы.

1. Совершенные числа (четные) оканчиваются на 6 и 8 (верно).

2.Они чередуются (неверно).

3.Существует одно совершенное число на каждый десятичный порядок — среди единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее (неверно).

В XVIII веке Эйлер доказал теорему, взаимодополняющую теорему Евклида: каждое совершенное число (четное) имеет вид 2ⁿ х (2ⁿ⁺¹-1), где 2ⁿ⁺¹-1 — простое число. На сегодняшний день все еще существуют нерешенные вопросы относительно совершенных чисел: неизвестно, бесконечен ли их ряд и существуют ли совершенные нечетные числа.

Начнем с последовательности нечетных чисел.

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

35

37

39

41

43

45

47

49

51

53

55

57

59

61

63

65

67

69

71

73

75

77

79

81

83

85

87

89

91

93

95

97

99

101

103

Начиная с 3 уберем третьи числа через каждые два.

3

5

7

11

13

17

19

23

25

29

31

35

37

41

43

47

49

53

55

59

61

65

67

71

73

77

79

83

85

89

91

95

97

101

103

Начиная с 5 уберем пятые числа через каждые пять и получим следующее.

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

49

53

59

61

67

71

73

77

79

83

89

91

97

101

103

И так далее. Вот список простых чисел до тысячи.

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

179

181

191

193

197

199

211

223

227

229

233

239

241

251

257

263

269

271

277

281

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

359

367

373

379

383

389

397

401

409

419

421

431

433

439

443

449

457

461

463

467

479

487

491

499

503

509

521

523

541

547

557

563

569

571

577

587

593

599

601

607

613

617

619

631

641

643

647

653

659

661

673

677

683

691

701

709

719

727

733

739

743

751

757

761

769

773

787

797

809

811

821

823

827

829

839

853

857

859

863

877

881

883

887

907

911

919

929

937

941

947

953

967

971

977

983

991

997

ПИФАГОРОВА ТРОЙКА

Последняя задача, которую стоит разобрать, — это алгоритм получения пифагоровых троек — трех натуральных чисел, подтверждающих теорему Пифагора, например 3, 4, 5; 5, 12, 13 и так далее, то есть таких чисел a, b и с, при которых а² + b² = с².

Возможно, в Древнем Вавилоне знали метод нахождения пифагоровых троек, о чем свидетельствует вавилонская глиняная табличка, которую называют Plimpton 322. В ней содержится несколько троек, выраженных в шестидесятых долях. Пифагору приписывается авторство метода, позволяющего получить эти числа, основанного на гномоне квадратных чисел. Квадратное число — это то, которое можно выразить в виде квадрата (см. рисунок). Следовательно, мы имеем n^² + (2n + 1) = (n+1)^². Для того чтобы составить пифагорову тройку, в которой катет и гипотенуза — два последовательных числа, гномон тоже должен быть квадратом, то есть 2n + 1 = k^², где k — нечетное число. Следовательно,

n = (k² - 1)/2, k нечетное.

Так можно получить тройки n = (k² - 1)/2, k, n +1 = (k² + 1)/2,

где k — нечетное число, образующее следующие таблицы.

Последовательность квадратных чисел 1, 4, 9,16 (n - 1)^², n^². Чтобы перейти от c_n = n^² к c_{n + 1} = (n + 1)^², нужно добавить гномон, равный 2n +1. То есть между ними всегда будет нечетное число.

a = k, где k нечетное

3

5

7

9

11

13

15

...

b = n = n = (k² - 1)/2

4

12

24

40

60

84

112

...

c = n + 1 = n = (k² + 1)/2

5

13

25

41

61

85

113

...

Таким образом можно получить бесконечное множество троек, но не все: например, здесь не хватает тройки 8, 15, 17, в которой разница между катетом и гипотенузой равна двум единицам.

Платону приписывают обобщение этого метода Пифагора. Необходимо перейти от (n - 1)^² к (n + 1)^². Для этого надо сложить два гномона: 2n - 1, позволяющий перейти от (n - 1)^² к n^², и 2n + 1, позволяющий перейти от n^² к (n + 1)^². Всего надо добавить 4n. То есть (n - 1)^² + 4n = (n + 1)^². Значит, n должно быть квадратным числом: n = k^². Так мы получаем тройки k^² - 1, 2k и k^² + 1. При k = 4 мы получим уже упомянутую тройку 8,15,17. Запишем это в виде таблицы.

k

2

3

4

5

6

7

8

a = k²- 1

3

8

15

24

35

48

63

b = 2k

4

6

8

10

12

14

16

с = k² +1

5

10

17

26

37

50

65

Приведенные таблицы различаются: в первой представлены простые тройки, то есть такие, у которых нет общего делителя; во второй цифры в столбцах с нечетным к можно разделить на 2, и мы получим некоторые значения первой таблицы. Можно сказать, что первая таблица включена во вторую. Но существует ли алгоритм, позволяющий получить все возможные пифагоровы тройки? Ответ на этот вопрос положительный, и дает его сам Евклид в лемме 1 книги X:

Существуют два квадратных числа, которые вместе образуют еще один квадрат.

Не вдаваясь в подробности, скажем, что Евклид использовал алгоритм α = λ^²-μ^², b = 2λμ, c = λ^² + μ^², где λ и μ — взаимно простые числа, имеющие разную четность. Это условие необходимо соблюдать для того, чтобы тройки не повторялись и все составляющие их числа были простыми, без общих делителей. Действительно, нас интересуют только простые тройки, так как очевидно, что при любом натуральном числе k 3k, 4k, 5k тоже будут натуральными, ведь 3, 4 и 5 — натуральные. Все вышесказанное справедливо для любой пифагоровой тройки a, b, c.

ГЛАВА 8

Распространение «Начал»

Самым убедительным доказательством исторического значения труда Евклида являются многочисленные его копии и переиздания. Ни одно другое научное произведение античности не может похвастаться таким количеством переводов, изданий и комментариев.

«Начала» являют собой блестящий синтез трех веков достижений древнегреческой математики. Значение этого наследия было оценено уже в эпоху самого Евклида. На протяжении всей истории — в римский период, арабский, в Средние века и вплоть до наших дней — этот текст множество раз публиковали в более или менее полном виде.

Впервые он был издан в 370 году Теоном Александрийским; его версия может считаться основной традицией, на которую опираются все последующие.

Одной из самых великих научных традиций является арабская. Математики IX-X веков из багдадского Дома мудрости (эта эпоха и место имели огромное историческое значение для мировой культуры, науки в общем и для математики в частности) оценили значение «Начал», и благодаря их исследованиям и комментариям (из которых надо особо отметить комментарии Аль-Харизи и Ибн Малика) труды Евклида и других греческих мыслителей начиная с XII века стали возвращаться в Европу. К тому же периоду относятся переводы «Начал» на латынь, над которыми особенно потрудились переводчики из знаменитой толедской школы и, в меньшей мере, школы города Риполь.

МАНУСКРИПТЫ И ИЗДАНИЯ

Самый древний сохранившийся манускрипт «Начал» Евклида относится к X веку (если не учитывать отрывок, датированный между 75 и 125 годами). Он был обнаружен на свалке города Оксиринх, близ современной Эль-Бахнасы, в 160 км от Каира, во время раскопок, проводимых Бернардом Гренфеллом и Артуром Хантом для Оксфордского университета в 1896— 1897 годах. В таблице кратко перечислены основные рукописи «Начал». От некоторых остался всего один экземпляр.

Место

Библиотека

Век

Оксфорд

Бодлианская библиотека

IX

Ватикан

Библиотека Ватикана

X

Флоренция

Библиотека Лауренциана

X

Болонья

Городская библиотека

XI

Вена

Национальная библиотека

XII (?)

Париж

Национальная библиотека

XII

Рукопись, хранящаяся в Оксфорде, была создана в 881 году Стефаном, опытным византийским каллиграфом, по заказу Арефы Кесарийского, архиепископа одноименного города в Каппадокии. Она написана широкими, почти квадратными буквами, с легким наклоном влево. В таком же стиле выполнен знаменитый манускрипт «Диалогов» Платона, также сделанный по приказу Арефы и хранящийся в той же библиотеке.

О важности сочинения Евклида для средневековой Европы свидетельствует тот факт, что его первое печатное издание, о котором нам известно, относится к 1482 году. Его выполнил немецкий книгопечатник Эрхард Ратдольт. В его версию, сделанную на основе латинского перевода англичанина Аделарда Батского в XII веке (возможно, с арабского оригинала), вошли комментарии Джованни Кампано.

Основные версии «Начал»

Год

Город

Автор

Язык

Заголовок

1482

Венеция

Джованни Кампано

Латынь (с арабского)

Preclarissimum opus elementorum Euclidis megarensis una cum commends Campani perspicacissimi in arte geometrica.

1505

Венеция

Бартоломео Дзамберти

Латынь (с греческого)

Euclidis megarensis philosophi platonici mathematicorum disciplinarum Janitores... elementorum libri XIII cum expositione Theonis insignis mathematici.

1509

Венеция

Кампано, переработка Луки Пачоли

Латынь

1533

Базель

Греческий

1572

Пезаро

Латынь

Euclidis elementorum libri XV, una cum scholiis antiquis.

1574

Рим

Латынь

Euclidis Elementorum libri XV.

1654

Антверпен

Латынь (книги 1—IV; XI-XII)

Elementa geometriae planae et solidae.

1703

Оксфорд

Греческий и латынь

1804 1808

Париж

Греческий, латынь и французский

Euclides quae supersunt. Les Oeuvres d'Euclide.

1883 1888

Копенгаген

Латынь

Euclidis opera Omnia.

Кампано, вдохновившись «Арифметикой» Джордано Неморарио (XII век), вводит аксиоматику книг по арифметике и, в частности, утверждает, что «не существует бесконечных нисходящих цепочек натуральных чисел». Издание Ратдольта содержит более 400 гравюр и может считаться настоящим шедевром, поскольку это одно из первых печатных изданий математического текста. Вскоре за ним последовало еще одно, опирающееся на основную традицию, — работы Бартоломео Дзамберти, а в 1572 году — издание Федерико Коммандино, самый точный из всех переводов на латынь, ставший основой для последующих важных переизданий, в частности издания Грегори. В 1533 году было напечатано знаменитое editio princeps[¹ «Первое издание» (лат.). — Примеч. перев.] то есть официальное издание на греческом, подготовленное Симоном Тренером. Последнее издание, указанное в таблице, — editio pnnceps на латыни Йохана Людвига Гейберга, созданное между 1883 и 1888 годами. Оно содержит полное собрание сочинений Евклида в восьми томах и дополнение из работ Евклида и других мыслителей.

Помимо главных изданий «Начал» (их всего около десятка) и editio pnnceps Гейберга, существуют и другие, очень любопытные, например версия Христофора Клавия, иезуита и главы Римского колледжа, который добавил к 468 предложениям Евклида еще 671, выдуманное им самим. Именно это издание иезуит Маттео Риччи увез с собой в Китай, где оно было переведено на китайский.

Всего вышесказанного уже достаточно, чтобы отдать дань уважения этому блестящему научному труду. Его можно поставить в один ряд с сочинениями Гомера, Софокла, Платона и Аристотеля. Это вершина греческой культуры, дошедшая до нас в письменном виде.

УКРАДЕННЫЙ ЕВКЛИД

Наполеон Бонапарт любил вывозить из завоеванных городов самые разные сокровища и украшать ими французские музеи. Например, так он поступил с Розеттским камнем и квадригой лошадей с собора Святого Марка в Венеции, которая несколько лет венчала Триумфальную арку. После вторжения в Италию Наполеон увез в Париж рукопись «Начал» Евклида, хранившуюся в библиотеке Ватикана. Несколько лет спустя, в 1804 году, парижанин Франсуа Пейрар, вдохновившись этим манускриптом, опубликовал «Начала евклидовой геометрии». Он обратил внимание на то, что этот текст основан не на версии Теона Александрийского, как все остальные, а на каком-то более древнем источнике, из-за чего можно предположить: он больше соответствует оригиналу. Позже рукопись была возвращена в библиотеку Ватикана.

Эпилог

XIX век в геометрии завершился появлением фундаментального труда гениального немецкого математика Давида Гильберта «Основания геометрии» (Grundlagen der Geometrie). С ним сформировался (хотя может показаться, что еще формируется) определенный подход к пониманию математики. Гильберт аксиоматизировал евклидову геометрию, но сделал это, не прибегая к геометрической интуиции. Он говорил:

«Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины «точка, прямая, плоскость» другими, столь же условными: «стул, стол, пивная кружка»!»

Разница между этими текстами Евклида и Гильберта состоит в использовании интуиции и наглядных соображений. Гильберт пытается избавиться от субъективности в науке. Для этого он прибегает к строгому формализму: аксиомы определяют отношения между геометрическими объектами (и они не требуют других определений, кроме самих этих аксиом), и на их основе, используя инструментарий формальной логики, создаются теоремы. При этом подходе невозможно вывести утверждение и его опровержение (на этой особенности основан метод доведения до абсурда), и непротиворечивость теории, построенной таким образом, подразумевает существование гео-

метрических объектов. Гильберт попытался создать твердую основу математики, после того как потерпел поражение подход, основанный на теории типов Рассела. Вдохновившись этим новым веянием в математической науке, выдающийся французский ученый Жан Дьёдонне во время семинара в 1969 году воскликнул: «Долой Евклида!» Этими словами он вовсе не принижал заслуги гениального александрийского математика, но стремился раскритиковать чрезмерное насаждение его геометрического учения в школах того времени. Так в начале 1970-х зарождалась наука, позже названная современной математикой, — новый подход к математике, имевший невероятный успех. Гильберт говорил:

«Моя мысль заключается в следующем: несмотря на высокую педагогическую и эвристическую ценность генетического метода, аксиоматический метод [...] предпочтительнее, поскольку дает окончательную картину наших знаний и их безупречной логической точности».

И все же спустя 20 лет его метод оказался «слишком современным». Через 2000 лет после написания «Начал» дискуссия о педагогической ценности евклидовых теорий — с точки зрения генетического метода — открыта снова.

Список рекомендуемой литературы

Bell, Е.Т., Losgrandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.

Eggers Lan, C., El nacimiento de la matemdtica en Grecia, Buenos Aires, Eudeba, 1995.

Hilbert, D., Fundamentos de geometria, Madrid, Centro Superior de Investigaciones Cientificas, 1953 (reeditado en 2010).

Kline, M., Matemdticos. Laperdida de la certidumbre, Madrid, Siglo XXI, 1985.

Korner, S., Introduccion a la filosofia matemdtica, Mexico, Siglo XXI, 1967.

Puertas Castanos, M.L., Elementos, tres volumenes, Madrid, Gredos, 1991,1994 у 1996.

Pla i Carrera, J., La veritat matemdtica, Barcelona, Reial Academia de Doctors, 2003.

—: Liu Hui. Nueve capitulos de la matemdtica china, Madrid, Nivola, 2009.

Stewart, I., Historia de las matemdticos, Madrid, Critica, 2008.

Vera, F., Cientificos griegos, 2 volumenes, Madrid, Aguilar, 1970.

Указатель

Автолик Питанский 29, 31, 34

аксиома 42, 43, 65, 74, 75, 77, 81, 118, 159

алгоритм Евклида 46, 76, 139, 141, 145— 147, 149, 154

анализ 31, 33, 53, 54, 56, 59, 80, 101, 103, 104, 116, 119

Антифонт 29, 34, 133

Аполлоний 9, 11, 25, 29, 30, 49

Аристотель 8, 9, 15, 16, 27, 29, 31, 34, 35, 37, 41-43, 48-51, 58, 80-82, 85, 110, 111, 125, 133, 149, 160

арифметика 7-9, 11, 34, 42, 45, 46, 51, 60, 80, 82, 109, 141, 145-149, 152, 153, 159

Архимед 9, 11, 17, 25, 29-31, 41, 46, 49, 65, 72, 78, 109, 112, 118, 125, 126, 139, 140

бесконечность 8, 9, 61, 63, 80, 82-85, 86, 110, 125, 127, 133, 134, 146, 149, 153

актуальная 80, 82-84, 86, 110, 134

первых чисел 83, 149

потенциальная 80, 82, 85

путем прибавления 80

существование бесконечного 80, 82

Бойяи, Янош 73, 75, 76, 86

Брисон Гераклийский 29, 34, 133

величина 18, 19, 42, 44, 49, 51, 60, 80, 92, 109, 110, 112-114, 116-120, 124-126, 147

соизмеримая 113-117, 121, 122, 147

несоизмеримая 11, 46, 92, 113-116, 119, 121-123, 146, 147

пропорциональная 24, 120, 124, 137, 144, 147

Гаусс, Карл Фридрих 68, 75, 78, 79, 145

геометрия 7-9, 11, 15, 17-20, 22, 25, 30- 33, 42-45, 48, 49, 51, 61, 63-65, 68, 69, 71-80, 87, 90, 92, 94, 95, 109, 110, 112, 118, 124, 127, 141, 161, 162

ванной 78

внутреннего двора 72

гиперболическая 73, 77-79

евклидова 8, 63, 64, 68, 69, 71, 73, 76-80, 161

неевклидова 61, 74-76

сферическая 72, 75, 77, 79

эллиптическая 72, 77, 79

Герои Александрийский 11, 30, 60

Гильберт, Давид 65, 77, 81, 127, 161, 162

гипотеза 26, 35, 40, 42, 43, 58, 71, 74, 76, 111

Гиппас из Метапонта 29, 34

Гиппий Элидский 11, 29, 34

Гиппократ Хиосский 11, 30, 32-34, 48, 131, 132, 145

Гипсикл Александрийский 11, 19, 30, 44, 47, 104

да Винчи, Леонардо 41, 106

Демокрит 11, 29, 34

Диофант 8, 9, 11, 30, 97

доведение до предела 134, 135, 137

Дьёдонне, Жан 162

Евдем Родосский 11, 30, 31, 34

Евдокс 8, 9, 11, 17, 30, 32-34, 45, 46, 107, 109, 116-118, 124, 125, 140

единица 42, 51, 79, 119, 138, 143, 144, 146, 150, 153

измерения 113-115, 116

звезда пифагорейская 101

Зенон 11, 29, 34, 41, 109-111, 117

золотое/ золотой 44, 90, 100-103

отрезок 90, 100, 101

прямоугольник 101-106

сечение 44, 100, 101

соотношение 100, 103

число 100

Исидор Милетский 11, 19, 44, 47

квадрат 10, 40, 45, 52, 58, 89, 90, 91, 96, 98-100, 114-116, 118, 132-136, 138-140, 146, 152, 153

квадратура 32, 33, 45, 90, 126, 131,

луночек 32, 33, 131

многосторонних фигур 90, 98, 124

круга 9, 126, 129, 132, 133, 140

параболы 126, 127

квадривиум 7

Киренский, Феодор 9, 29, 32, 33, 46, 115

Коммандино, Федерико 159, 160

конические сечения 11, 19, 21, 22, 25, 34

гипербола 21, 22, 70

парабола 21, 22, 126, 127, 135

эллипс 21, 22

кривизна 76

круг 9-11, 42, 46, 50-52, 58, 64, 65, 72, 80, 103, 109, 118, 125, 126, 127, 129, 131-140

наибольший 72

Лейбниц, Готфрид Вильгельм 27

Линдеман, Фердинанд фон 140

линейка 33, 44, 45, 50, 71, 99, 140

Лобачевский, Николай 73-75, 79, 86

луночка 32, 33, 131, 132

математа 7, 25

математические объекты 38, 42, 56, 58

природа

онтологическая 38

эпистемологическая 38

метод 8, 11, 44, 46, 53, 55, 56, 58, 60, 63, 74, 89, 90, 92-94, 96, 107, 116, 118, 122, 125-127, 131, 132, 136, 146, 147, 152.153

двойного доведения до абсурда 125

доведения до абсурда 44, 56, 58, 67, 83, 111, 116

исчерпывания 8, 11, 46, 60, 107, 118, 125-127, 135, 136, 139

танграма 44, 60, 87, 90-94, 96, 122, 125, 127, 131, 132

методология 7, 9, 17, 43, 49, 58, 82, 109, 119

Мопертюи, Пьер Моро де 27

наибольший общий делитель 141, 146

несоизмеримость 72, 92, 116, 119, 121, 122, 146, 147

Никомах Герасский 11, 30, 149, 150

Ньютон, Исаак 9, 25, 80

окружность 10, 21, 24, 45, 50, 52-54, 66-68, 99, 104, 107, 116, 131, 132, 134, 138-140

определение 42, 43, 44-56, 63-65, 70, 83, 95, 109, 113, 116, 117-119, 121, 124-126, 136, 143, 144, 145, 150

definiendum 42

definiens 42

Папп Александрийский 8, 9, 11, 18, 22, 23, 30, 49

парадокс 109-111

параллельные 52, 67, 71-73, 83

Парменид 11, 29, 34, 41, 111

Пачоли, Лука 104-106, 159

пирамида 46, 107, 119, 125, 127

объем 46, 107, 118, 119, 127

пифагорейская звезда 101

Пифагор Самосский 7, 8, 11, 152

Платон 8, 11, 15-17, 29, 31-33, 35, 37-39, 40-43, 50, 89, 102, 111, 118, 153, 158, 160

постулат 8, 9, 11, 27, 33, 42-44, 47-50, 53-56, 58-60, 61, 63-67, 68-71, 74-76, 80, 82, 86, 90, 93, 112, 113, 117, 126, 143, 148

Архимеда 126

о параллельных 8, 11, 60, 61, 66, 68, 69, 71, 74, 75, 90, 93

правильный многоугольник 45, 47, 133-135, 139

восьмиугольник 133, 135, 138

квадрат 10, 40, 45, 52, 58, 89-91, 96-100, 114-116, 118, 131, 133, 135, 138-140, 146, 152, 153

пятиугольник 45, 53, 54, 101, 104

пятнадцатиугольник 45

равносторонний треугольник 45, 52-54, 73

шестиугольник 45 Прокл 7, 9, 15, 16, 17, 20, 30, 32, 34

пропорция 5, 8, 11, 44-46, 95, 100, 103, 107, 109, 118, 119, 124, 125, 144

прямая 20, 22, 24, 26, 43, 45, 49-56, 58, 63, 65-74, 77, 78, 82-85, 97, 104, 109, 116, 119, 122, 124, 131, 137

перпендикулярная 52, 68, 71, 84, 85, 96, 104, 119, 124

прямой отрезок 10, 65, 82, 92

прямоугольник 10, 52, 90, 91, 96-103, 127

псевдосфера 77

Птолемей, Клавдий 8, 9, 11, 15, 17, 30, 41, 49

Птолемей I Сотер 15, 17

Птолемей II Филадельф 15

разделенная линия 37, 38

Ратдольт, Эрхард 44, 158, 159

Рафаэль 23, 41

Сен-Венсан, Грегуарде 140

синтез 7-9, 13, 16, 17, 32, 43, 53, 56, 60, 82, 101, 158

соотношение 19, 20, 22, 24, 45, 49, 100— 102, 103, 113-120, 124, 131, 135, 139, 145, 147

золотое 100, 101, 103

Софокл 160

существование 9, 22, 37, 38, 42, 43, 46, 50, 51, 53, 54, 58, 67, 68, 70, 71, 77, 80, 82, 85, 136, 137, 139, 161

танграм 44, 60, 63, 87, 89, 90, 92-94, 96- 99, 122, 123, 125, 127, 131, 132

тела 8, 102-104, 109, 112, 118, 120

додекаэдр 46, 102-104, 106

икосаэдр 46, 102-104, 106

куб, или гексаэдр 46, 102, 135

октаэдр 46, 102

Платоновы 9, 17, 46, 47, 60, 102, 103

тетраэдр 46, 102-104

теорема 17, 21, 22, 32, 33, 35, 40, 42-47, 53, 54, 87, 92, 96, 97, 99, 114, 124, 131, 132, 134, 148-150, 152, 161

Пифагора 40, 44, 45, 96, 99, 114, 131, 132, 152

Фалеса 8, 45, 125, 134

теория отношений 8, 11, 44, 45, 107, 109, 124, 125

типов Рассела 162

Теэтет 9, 17, 29, 33, 46

точка 10, 20, 22, 26, 39, 42-44, 50, 51, 52-56, 58, 65-74, 77, 82, 84, 85, 93, 99-104, 112, 116, 122, 123, 126, 161

трактриса 77

треугольник 10, 19, 20, 24, 26, 40, 44, 45, 52-55, 58, 59, 64-68, 71, 73, 76, 78, 80, 84, 90-96, 98, 99, 101, 102, 104, 109, 115, 116, 121-124, 126, 127, 132-135, 138, 139

подобие 124

признаки равенства 64, 95

прямоугольный 44, 45, 52, 64, 96, 99, 115, 116, 124, 138, 139

тривиум 7

угол 10, 19, 24, 26, 50, 52, 55, 56, 58, 63- 67, 69, 71-73, 76, 78, 79, 91, 96, 101, 102, 119, 124

прямой 50, 52, 56, 63, 64, 66, 69, 71, 91, 119, 124

у основания 55, 67

Фалес Милетский 8, 11

Ферма, Пьер де 27, 148

Филолай 11, 29, 34

философия 7, 9, 17, 35, 37, 41, 43, 69, 79, 82, 111, 118

циркуль 23, 33, 44, 45, 50, 54, 71, 99, 140

число 9, 31, 33, 46, 58, 82, 83, 97, 98, 100, 114, 115, 117-120, 126, 138-140, 143-146, 148-150, 152, 154

первое (простое) 46, 83, 144, 148, 150

составное 83, 110, 111, 144, 145, 148, 149

совершенное 46, 144, 145, 150

π 139

Эйлер, Леонард 27, 150

Евклид Александрийский - автор одного из самых популярных нехудожественных произведений в истории. Его главное сочинение - «Начала» - было переиздано тысячи раз, на протяжении веков по нему постигали азы математики и геометрии целые поколения ученых. Этот труд состоит из 13 книг и содержит самые важные геометрические и арифметические теории Древней Греции. Не меньшее значение, чем содержание, имеет и вид, в котором Евклид представил научное знание: из аксиом и определений он вывел 465 теорем, построив безупречную логическую структуру, остававшуюся нерушимой вплоть до начала XIX века, когда была создана неевклидова геометрия.