Удовольствие от X. Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире

А теперь давайте превратим его в обычный прямосторонний треугольник, проведя линии через точку пересечения и конечные точки исходного треугольника. В результате треугольник выглядит точно так же, как равносторонний.

Мы позволили интуиции завести нас так далеко, что теперь и только теперь наступило время логике взяться за доказательство и завершить его. Для наглядности сделаем панорамную съемку полного изображения и промаркируем интересующие нас точки как A, B и C.

А вот и само доказательство. У сторон АС и ВС такая же длина, как и у исходного отрезка АВ, поскольку радиусы обеих окружностей равны длине отрезка AB. АС и ВС — радиусы окружностей, имеющие такую же длину. Следовательно, все три длины равны и треугольник является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Идея с радиусами окружностей существует уже много столетий. Действительно, она открывает первую книгу евклидовых «Начал». Но укоренившаяся тенденция предлагать ученикам уже готовую окончательную схему с хитрыми окружностями лишает их радости открытия. Это педагогическая ошибка. Такой подход настраивает молодого человека на то, что идея очевидна. А ведь она может стать озарением для каждого нового поколения, если учить его правильно.

Конечно, ключом к данному доказательству было вдохновенное построение двух окружностей. С его помощью можно доказать еще одну, более известную теорему, которая звучит следующим образом: сумма углов треугольника равна 180°.

В этом случае лучшим будет не доказательство Евклида, а более раннее, приписываемое пифагорейцам. Делается это так. Рассмотрим любой треугольник и обозначим его углы, как a, b и c.

Через верхний угол треугольника проведем линию, параллельную основанию.

Теперь на секунду отвлечемся и вспомним свойства параллельных прямых: если третья прямая пересекает две параллельные прямые, как здесь,

то углы, помеченные как а, равны.

Попробуем применить это свойство углов к сделанным выше построениям, в которых через вершину угла треугольника проведена прямая, параллельная его основанию.

Построив внутренние накрест лежащие углы, мы видим, что угол слева от верхнего угла треугольника должен быть равен a. Аналогичным образом угол справа от верхнего угла равен b. Таким образом, вместе углы а, b и с образуют развернутый угол в 180°. Что и требовалось доказать.

Это одно из самых убедительных доказательств во всех разделах математики. Оно начинается со вспышки молнии, сопровождаемой раскатами грома, — построения параллельной прямой. Как только прямая линия проведена, доказательство, как создание доктора Франкенштейна, начинает гулять само по себе.

И кто знает? Если мы высветим эту другую сторону геометрии — занимательную и интуитивную, где искра воображения может быстро возгореться в доказательство, — то, может быть, ученики запомнят уроки геометрии как уроки, где они научились мыслить логически и творчески[65].

14. Конический заговор

Галереи шепота — это замечательные акустические пространства, обнаруженные под определенными куполами, сводами или сводчатыми потолками. Один из таких сводчатых потолков находится в вестибюле станции метро Grand Station в Нью-Йорке. Это прекрасное место для свиданий: вы можете обмениваться милыми глупостями, находясь на расстоянии сорока футов, разделенные шумным проходом, и будете четко слышать друг друга, а прохожие не услышат ни слова из того, что вы сказали.

Для получения такого эффекта двое должны стать на одной линии в противоположных углах помещения лицом к стене так, чтобы оказаться в геометрических фокусах звука, то есть в точках, в которых сосредотачивается звук, отражающийся от изогнутой стены прохода или потолка. Обычно звуковые волны распространяются во всех направлениях, хаотично отражаются от стен и так сильно перемешиваются, что становятся нераспознаваемы для уха слушателя, находящегося в сорока футах от вас (именно поэтому прохожие не слышат, что вы говорите). Но когда вы шепчете в фокусе, все отраженные волны одновременно прибывают в другой фокус, тем самым усиливая друг друга, благодаря чему ваши слова можно расслышать.

Эллипсы демонстрируют аналогичное чутье на фокус, хотя и в более простой форме. Если мы изобразим отражатель в виде эллипса, то две особые точки внутри него (отмеченные как F₁ и F₂ на рисунке ниже) будут фокусами, и все лучи, исходящие из источника света в одной из этих точек, отразятся в другой.

Я продемонстрирую удивительные свойства фокусов в эллипсах на двух примерах.

Предположим, что Дарт и Люк[66] занимаются стрельбой из лазеров на эллиптической арене с зеркальными стенами. Они договорились не целиться прямо друг в друга, а стрелять в противника дуплетом. Дарт не очень разбирается в геометрии и оптике и не замечает, что оба находятся в точках фокуса. «Хорошо, — говорит Люк, — только я буду стрелять первым». Но это совсем не похоже на дуэль, потому что Люк не может промахнуться! Куда бы он ни целился, он все равно попадет в Дарта. Каждый его выстрел победный.