Удовольствие от X. Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире

Если вы любитель поиграть в бильярдный пул, представьте себе, что играете в бильярд на эллиптическом столе с лузой в одном из фокусов. Чтобы направить кий для трюкового удара, который каждый раз гарантирует попадание, установите бильярдный шар в другом фокусе. Тогда, как бы вы ни ударили по шару и где бы он ни отскочил от стенки стола, он всегда угодит в лузу.

Параболические кривые и поверхности имеют другую поразительную способность — фокусировать параллельно входящие лучи в одной точке. Эта особенность их геометрии очень полезна в случае, если необходимо усилить световые или звуковые волны или другие сигналы. Например, параболические микрофоны могут использоваться для усиления приглушенных разговоров, в связи с чем представляют интерес для слежки, шпионажа и правоохранительных органов. Они также пригодятся для записи звуков природы: пения птиц, голосов животных, а во время телевизионной трансляции спортивных программ позволят услышать, как тренер ругает судей. Параболические антенны тоже способны усиливать радиоволны, поэтому телевизионные спутниковые тарелки и гигантские астрономические радиотелескопы имеют характерную изогнутую форму.

Фокусирующее свойство параболы не пропадает, если развернуть ее в противоположном направлении. Допустим, вы хотите получить в прожекторах и фарах автомобиля точно сфокусированные лучи света. Сами по себе лампочки, даже мощные, недостаточно хороши. Они расходуют слишком много световой энергии, рассеивая ее во всех направлениях. Местом, где лампы находятся в фокусе, является параболический отражатель фары, и — вуаля! — парабола автоматически создает направленный луч. Отражая лучи лампы от посеребренной внутренней поверхности фары, парабола все лучи делает параллельными.

Когда вы оцените фокусирующую способность парабол и эллипсов, то удивитесь, что среди всех геометрических фигур больше практически ни одна не обладает подобными свойствами. Не лежат ли в их основе какие-то фундаментальные закономерности?

У математиков и сторонников теории заговора[67] много общего: мы не доверяем совпадениям, особенно удачным. Отрицаем случайности. Все имеет свою причину. Применительно к реальной жизни такой способ мышления, возможно, кажется несколько параноидальным, но для математика он совершенно нормален. В идеальном мире чисел и фигур странные совпадения обычно являются ключами к тому, чего мы не замечаем, и свидетельствуют о наличии скрытых закономерностей.

Итак, рассмотрим более подробно возможную связь между параболами и эллипсами[68]. На первый взгляд, они не похожи. Параболы имеют форму арки, вытянутой на обоих концах. У эллипсов овальная форма, и они напоминают раздавленные окружности, замкнутые и ограниченные.

Но как только вы выйдете за рамки стандартных представлений и исследуете анатомию этих фигур, то заметите, насколько они похожи. Обе принадлежат к королевской семье кривых; генетическая связь между ними становится очевидной, когда понимаешь, куда нужно смотреть.

Чтобы объяснить, как они связаны между собой, необходимо вспомнить, что в точности означают эти кривые.

Парабола обычно определяется как множество всех точек, равноудаленных от данной точки и данной прямой, не содержащей эту точку. Это труднопостигаемое толкование, но его довольно легко понять, если представить следующую картинку, при этом обозначив данную точку F как фокус, а прямую как L.

В соответствии с определением парабола состоит из всех точек, которые лежат на одинаковом расстоянии от F и L. Например, точка Р, находящаяся прямо под F на полпути к L, точно подходит под это определение.

Бесконечное множество других точек P₁, P₂… тоже подходят под него, как показано ниже.

>

Точка P₁ расположена на одинаковом расстоянии d₁ от прямой и фокуса. То же самое верно и для точки P₂, но в этом случае имеется в виду некое расстояние d₂. Все точки P с таким свойством образуют данную параболу.

Почему мы считаем F фокусом, становится ясно, если представить параболу как кривое зеркало. Оказывается (хотя я не стану это доказывать), если направить луч света прямо на параболическое зеркало[69], все отраженные лучи пересекутся в одной точке F, создавая сильно сфокусированное пятно света.

По такому же принципу работали старые лампы для загара, под которыми предыдущее поколение жарилось в те далекие времена, когда никто не беспокоился о раке кожи.

Теперь давайте обратимся к эллипсу. Он определяется как множество точек, для которых сумма расстояний от двух данных точек является константой. Если перевести это на простой язык, получим инструкцию, как нарисовать эллипс. Возьмите ручку, лист бумаги, чертежную доску, две канцелярские кнопки и кусочек веревки. Положите бумагу на доску. Несильно ее натягивая, прикрепите к ней концы веревки канцелярскими кнопками. Затем зацепите веревку карандашом и натяните ее, образуя угол, как показано ниже. Когда начнете рисовать, следите за тем, чтобы веревка все время была натянута. Начинайте вести карандашом по бумаге вокруг кнопок и, сделав полный круг, получите эллипс.