Уставы небес, 16 глав о науке и вере

В средние века вопрос об универсалиях (идеальных, общих понятиях) обсуждался в бурных и долгих спорах схоластов - реалистов и номиналистов: первые отстаивали их реальное (онтологическое) существование, а последние признавали их только в мышлении (как имена, символы единичных сущностей). Эти споры так ни к чему и не привели, а крайние точки зрения были осуждены церковью (особенно в связи с догматами о причастии и св. Троицей). Взгляды на математику Пенроуза и его единомышленников могут быть сопоставлены со средневековым реализмом.

"Номиналистский" подход в вопросе об основаниях математики состоит в предположении, что математические понятия являются результатом обобщения и абстрагирования свойств реального физического мира. Логически возможен и "субъективно-идеалистический" подход, рассматривающий математические конструкции как произвольные творения человеческого ума, однако в этом случае вопрос о причинах "непостижимой эффективности" математики по-видимому не может быть даже разумно сформулирован. Как и вообще в современной науке, наиболее распространен сейчас по-видимому "позитивистский" подход, когда вопросы о мировоззренческом статусе используемых понятий и методов считаются ненаучными и бессмысленными. Применительно к математике, такой подход состоит в рассмотрении математических теорий как некоторых формальных конструкций:

В этом смысле математика рассматривает отношения в гипотетически-дедуктивном плане, не связывая себя никакой конкретной материальной интерпретацией. Ее интересует не истинность аксиом, а лишь их непротиворечивость... "Математика - это наука, извлекающая определенные следствия" - сказал Б. Пирс в 1870 г., и это определение оставалось в моде на протяжении нескольких десятилетий. Мне кажется, что оно содержит весьма скудную информацию относительно подлинной природы математики... (Г. Вейль, Математическое мышление, М.: Наука, 1989, с. 21).

К подобным формалистическим подходам относится прежде всего аксиоматический метод, который пропагандировался и развивался на рубеже XIX и XX веков выдающимся немецким математиком Д. Гильбертом. Известно его шутливое (?) высказывание, что при изложении евклидовой геометрии можно везде заменить слова "точки", "прямые" и "плоскости" на "столы", "стулья" и "пивные кружки" (через два стола можно провести стул, и притом только один замечательно!). В широко известном списке "проблем Гильберта" присутствовала даже проблема аксиоматизации физики. Аналогичный подход развивался Расселом и Уайтхедом по отношению к самой математике. По словам Б.Рассела,

Тот факт, что вся математика есть символическая логика, является одним из величайших открытий нашего времени (Принципы математики).

Такой подход сразу после своего возникновения вызвал резкие возражения ряда крупнейших математиков, прежде всего, А. Пуанкаре:

Настоящее математическое рассуждение есть настоящая индукция, во многих отношениях отличная от индукции физической, но, как и она, идущая от частного к общему. Все усилия, направленные на то, чтобы опрокинуть этот порядок и свести математическую индукцию к правилам логики, закончились без успеха, и эту неудачу трудно скрыть под маской особого языка, недоступного профанам (А. Пуанкаре, О науке, с.402,403).

Будущее развитие математики и логики действительно показало недостаточность гильбертовского подхода даже в пределах математики (не говоря уже об "аксиоматизации физики", см. гл.6). Мы имеем в виду прежде всего знаменитую теорему Геделя, согласно которой даже в арифметике натуральных чисел существуют утверждения, неопровержимые и недоказуемые на основе любого конечного набора аксиом. (Приведенная здесь формулировка не вполне точна и нуждается в многочисленных пояснениях; см., например, упомянутые выше книги Р. Пенроуза или популярно написанную брошюру В.А. Успенского "Теорема Геделя о неполноте", М., Наука, 1982; более систематическое изложение можно найти, например, в учебнике С. Клини "Математическая логика", М., Мир, 1973). Близкое (и в действительности эквивалентное) утверждение состоит в существовании алгоритмически неразрешимых задач, то есть таких задач, которые в принципе не могут быть решены никаким компьютером, действующим на основе фиксированного набора правил. (Известно много конкретных примеров таких задач; скажем, не существует общего способа определить, можно или нельзя вымостить всю плоскость без зазоров, используя только многоугольные плитки из заданного конечного набора). Тем самым, математика неизбежно должна быть содержательной и "человеческой" (или, согласно платонистским взглядам, сверхчеловеческой), но ни в коем случае не "компьютерной", то есть бездумно выводимой из фиксированного набора правил: