Уставы небес, 16 глав о науке и вере

В то же время, канторова теория по-видимому не противоречит структуре человеческого мышления. Можно думать, что понятие континуума как некоторой первичной сущности, не сводимой к счетным множествам, действительно присуще человеческой психике. Каждый человек обладает, вероятно, зачатками топологического мышления, основанного на идее непрерывности. Г. Вейль говорил (Математическое мышление, с. 24-41) об абстрактной алгебре и топологии как двух альтернативных способах математического мышления (по выражению Вейля, за душу каждого математика борются ангел топологии и бес абстрактной алгебры). На уровне физиологии различные виды мышления связываются с полушариями человеческого мозга (правополушарное мышление непрерывное, образы, топология, левополушарное мышление - логическое, символы, буквы, слова, дискретное, алгебра). Ф. Меррелл-Вольф (в книге "Математика, философия и йога") связывает "обычное" двойственное сознание с дискретным пространством, а "просветленное" недвойственное сознание - с непрерывным пространством, используя также аналогию с канторовой теорией множеств.

Интересно сопоставить два главных типа математического мышления с психологической классификацией личностей (см. книгу К.Г. Юнга "Психологические типы" или труды по модной сейчас науке - соционике, напр., Е. Филатова, Соционика для вас, Новосибирск, 1994). Для это нужно принять во внимание, что в соответствии с данными психологических исследований пространство в восприятии человека обычно ассоциируется с непрерывной средой (символика воды, моря и т.д., см. главу 11), а восприятие времени дискретно (см. главу 15). В соционике восприятие преимущественно пространственных или временных отношений связывают с сенсорным или интуитивным типом личности, соответственно. Можно предположить наличие некоторых корреляций между этим делением и делением математиков на "геометров" и "алгебраистов" (на такую мысль наводят, в частности, интересные психологические наблюдения в книге Р. Пенроуза "Новый разум императора", однако вопрос нуждается в дальнейших исследованиях). Между прочим, в соционике для характеристики различных типов личности и межличностных взаимодействий широко используется геометрическая символика. Хотя подобное использование математики выглядит несколько бедным и искусственным по сравнению с ее применением в естественных науках, оно лишний раз подчеркивает психологическую нагрузку математических символов.

До некоторой степени противопоставление "счетного" мышления, основанного на понятии (натурального) числа, и топологического мышления, основанного на понятии непрерывности, соответствует различию количественного и качественного подходов. Современная математика является не только количественной, но и все больше развивает методы качественного анализа. Здесь уместно привести слова Руми:

Вы принадлежите к миру измерений, но пришли вы оттуда, где нет никаких измерений. Закройте первую лавку, пора открывать вторую.

Как мы отмечали выше, речь здесь идет о топологии, качественно исследующей свойства пространств и многообразий. С ней связаны такие дисциплины, как созданная Пуанкаре качественная теория дифференциальных уравнений, теория бифуркаций и теория особенностей гладких отображений; приложение этих теорий к широкому кругу естественнонаучных и даже социальных проблем получило известность под названием теории катастроф. Качественная сторона математики подчеркивается и в известном высказывании А. Пуанкаре:

Математика - это искусство называть разные вещи одинаковыми именами.

Слово "имена" (возможно, употребленное бессознательно) подчеркивает связь математики с определенной символической системой. "Символическая" основа естественных наук обсуждается в работах П.Флоренского.

Совокупные усилия [физиков и философов - Маха, Авенариуса, Гельмгольца...] утвердили общество в мысли, что действительно физическая теория есть не более как символическое описание, упрощенное и упорядоченное описание, хотя, кстати сказать, доныне еще не стало ясным, чего именно описание есть физика...

Метод познания природы, по Герцу, заключается в следующем: "... Мы создаем себе внутренние образы или символы внешних предметов и создаем мы их такими, чтобы логически необходимые последствия таких образов были всегда образами естественно необходимых изображаемых в них предметов" (П.Флоренский, Наука как символическое описание).