В лабиринте чисел

— Ну и что же? Отдалённость и отвлечённость — понятия разные. Что звёзды, что планеты — в том числе и наша Земля — всё это природа, всё тела естественные. И, стало быть, астрономия — наука главным образом естественная. А в том, что она одновременно и точная, это уж моя заслуга. — Ари перевела дух и продолжала: — Между прочим, знаешь ли ты, что самые древние на земле числа появились как раз потому, что людям понадобилось сосчитать созданное природой: плоды, деревья, домашних животных, звериные шкуры… Не спроста числа эти называют натуральными, то есть природными.

— Натуральные числа… Да ведь я о них знаю! — обрадовался Чит. — Это 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее, без конца…

— Именно, без конца! — подхватила Ари. — В натуральном ряду чисел каждое последующее число больше предыдущего на единицу. А какое огромное число ни возьми, его всегда можно сделать на единицу больше, так ведь? Вот и получается, что натуральный ряд бесконечен.

— Любопытно! Начало есть…

— А конца нет! Но о бесконечности поговорим на следующей остановке —

Бесконечность

И сразу в лицо им ударил свет, да такой ослепительный, что Чит ахнул и зажмурился. А когда открыл глаза, ахнул снова — от изумления.

То, что он увидел, очень напоминало муравейник. Но, не в пример обычному, это был муравейник огромный, прямо-таки гигантский, сделанный к тому же из очень чистого, очень прозрачного стекла, так что всё его сложное, запутанное нутро просматривалось насквозь. Да, муравейник просматривался насквозь, и всё-таки нельзя было сказать, что видишь его целиком: он был для этого слишком необъятен. Разбегались во все стороны несметные вереницы стеклянных комнат, растворялись где-то в белёсой дали нескончаемые ручейки-коридоры. Но откуда они текут? Где иссякают? Разобраться в этом не было никакой возможности.

— Так вот как выглядит бесконечность! — зачарованно выдохнул Чит.

— Да, похоже, — согласилась Ари. — Ни конца, ни начала. Правда, то, что ты видишь, — это всего-навсего общий вид лабиринта чисел. И всё-таки наиболее наглядное представление о бесконечности ты получишь именно здесь. Ведь числам тоже нет конца!

— Зато у них есть начало, — неожиданно возразил Чит. — А ты сама только что сказала, что у бесконечности его нет.

— Поймал меня на слове? Молодец. В натуральном ряду чисел начало и впрямь имеется: единица.

— Ты говоришь так, будто есть ещё какие-то другие ряды, ненатуральные, — съязвил он.

Но Ари спокойно подтвердила, что другие ряды, безусловно, найдутся. В том числе и такие, где нет не только конца, но и начала.

— Хотел бы я на них посмотреть! — недоверчиво усмехнулся Чит.

— Нет ничего проще. Возьмём единицу и умножим её на два. Получим 2. Двойку снова умножим на два…

— Получим 4.

— Четыре, в свою очередь, удвоим опять. И так будем удваивать каждое вновь полученное число. Вот тебе и другой, не натуральный, но тоже бесконечный ряд чисел, где каждое последующее число вдвое больше предыдущего: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64…

— Хорошо, — согласился Чит, — пусть ряд не натуральный. Но ведь начало у него всё равно есть: единица.

— Пока что начало есть, но сейчас оно исчезнет, — весело пообещала Ари. — Итак, мы получили бесконечно возрастающий ряд чисел, где каждое последующее число вдвое больше предыдущего. Теперь подумай: можем мы перевернуть это определение и сказать, что каждое предыдущее число этого ряда вдвое меньше последующего?

— Ну, можем, — милостиво разрешил Чит. — Что в лоб, что по лбу.

— Вот и пройдёмся по этому ряду в обратном направлении. Начнём, скажем, с четырёх. Четыре вдвое меньше восьми, двойка вдвое меньше четырёх, единица вдвое меньше двух…

— Стоп! — крикнул Чит. — Дальше единицы ехать некуда.

— С чего ты взял? Разве нельзя и единицу разделить на два? А половину её опять на два? А новую половину снова на два… И так опять-таки до бесконечности. Вот мы и получили числовой ряд без конца и без начала. Ведь как нет такого БОЛЬШОГО числа, которое нельзя увеличить вдвое, так нет и такого МАЛОГО, которое нельзя вдвое уменьшить.

— Твоя взяла! — сдался Чит. — Этот ряд и впрямь без конца и без начала. Но уж середина у него есть наверняка: единица.

— Почему ты решил?

— Потому что по обе стороны единицы расположено одинаково бесконечное количество чисел.

— Допустим. Но разве нельзя сказать, что одинаково бесконечное количество чисел расположено по обе стороны двойки? Или восьмёрки?

— Постой, Ари, — вышел из себя Чит, — что ты говоришь? По-твоему, получается, что середина у этого бесконечного ряда везде?

— Вот именно везде. Или нигде. Как тебе заблагорассудится. То, что не имеет ни конца, ни начала, вполне может не иметь и середины.

Ари взглянула на Чита и невольно улыбнулась: он был такой сердитый, такой взъерошенный…

— Что, брат, сложно? Ничего не поделаешь — бесконечность! Когда-нибудь познакомишься с ней получше и поймёшь, что в бесконечности свои законы, свои правила вычислений. Но всё это будет когда-нибудь. А пока нам с тобой пора на следующую остановку —

Всевозможные нумерации