В погоне за красотой

Впрочем, полагаю, любой читатель не раз замечал, насколько проще решать задачу либо доказывать теорему, если ее ответ известен заранее.

А во всей проблеме параллельных нужна лишь одна руководящая идея: «Пятый постулат Евклида независим от остальных». Стоит знать, что это так, и любой математик наших дней легко повторит большинство результатов Лобачевского за сравнительно небольшой срок. Но останется рядовым математиком. Просто он знает: «копать надо здесь». И это решает почти все.

В подтверждение я приведу один пример, убедительный, вероятно, для любого умеющего играть в шахматы. В журналах очень часто печатают позиции из партий гроссмейстеров с предложением найти за белых выигрывающий ход. Обычно в такой позиции надо найти красивую комбинацию. Любой перворазрядник, напряженно продумав полчаса-час, решит не менее девяноста процентов задач этого сорта. Вместе с тем в девяноста случаях из ста он не заметил бы этой комбинации, случись она у него в практической партии.

Этими замечаниями я хотел бы предупредить возможность появления нелепого чувства превосходства перед математиками прошлых эпох. Действительно, подавляющее большинство теорем, связанных с доказательствами пятого постулата, совершенно элементарно по своей логике. Они доступны для учеников 8–9-го классов.

И логические ошибки авторов, полагавших, что они доказали пятый постулат, также часто очень элементарны. Но эта элементарность видна сейчас. Точно так же уже через двадцать лет некоторые из проблем, над которыми бьются ученые в наши дни, покажутся до смешного простыми и наивными. Особенно часто так бывает с физиками.

После изрядной дозы общих рассуждений пора вернуться к пятому постулату.

Я уже не раз говорил (и прошу прощения у читателей — еще не раз буду повторять), что все попытки доказательств стимулировались, по существу, единственной причиной: он не «смотрелся», как говорят художники.

Он возмущал эстетические чувства ученых своей сложностью. И в древней Греции, и в Персии, и в Европе реакция была единодушна.

Поглядите, как прелестно негодует один из величайших математиков арабского мира, Омар Хаййам.

«…Евклид считал, что причиной пересечения прямых является то, что два угла (внутренние односторонние углы. — В. С.) меньше двух прямых.

Считая так, он был прав, но это может быть доказано только при помощи дополнительных рассуждений. (Хаййам думал, что он доказал пятый постулат. — В. С.) …Евклид же принимал эту предпосылку и основывался на ней без доказательства. Клянусь жизнью… здесь необходима помощь разума, и это его (то есть разума, а не Евклида. — В. С.) право…

Как Евклид позволил себе поместить это утверждение во введении (имеется в виду — выбрать как аксиому. — B. C.) в то время, как он доказывал гораздо более простые факты…»

Посмотрим же, как велась борьба с пятым постулатом. Было три канонических пути.

1. Открыто и явно предлагался какой-либо постулат, эквивалентный Евклидову. Эти авторы образуют «скромное», или «пессимистическое» направление.

2. Доказательство от противного (reductio ad absurdum) — один из самых изящных и мощных логических методов решения математических задач. Здесь новых постулатов не вводили.

Формулировалась теорема, противоположная по своему смыслу пятому постулату либо какому-нибудь его эквиваленту, а далее начинали развивать разнообразные следствия в надежде, что рано или поздно придут к какому-нибудь противоречию. Если оно будет получено, то тем самым доказывается, что пятый постулат вытекает из остальных аксиом, — и задача решена.

Это направление «самонадеянное» или «оптимистическое».

3. Наконец, группа «эклектиков».

Они доказывали какую-либо теорему, эквивалентную пятому постулату. Доказывали, используя неявно и незаметно для себя какой-либо другой эквивалент постулата Евклида.

Тяжелее всех было «на направлении № 2» — «оптимистам». Они все дальше и дальше тянули цепочку своих теорем, все больше и больше запутывались в следствиях, так и не находя противоречия.

С сегодняшних наших позиций мы понимаем, что эта группа математиков, по существу, доказывала начальные теоремы неевклидовой геометрии, что они были на наиболее обнадеживающем пути, потому что только так можно было прийти к идее независимости Евклидова постулата от остальных. Но им-то от этого не было легче.

Как правило, в итоге они либо отчаивались, либо перекочевывали в лагерь «эклектиков».

Надо заметить, что многие из доказательств «эклектической группы» великолепны по своему остроумию.

Если чуть огрубить реальную историю, то можно сказать, что в основном пробовали доказывать две главные разновидности пятого постулата:

1. Перпендикуляр и наклонная пересекаются.

2. Сумма углов треугольника равна π.

На этих путях было найдено несколько очень наглядных эквивалентов пятого постулата. Иногда авторы понимали, что нашли эквивалент; иногда они, заблуждаясь, думали, что доказали пятый.

Вот несколько «эрзацев»^[2].

1. «Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть прямая».

2. Расстояние между двумя непересекающимися прямыми остается ограниченным^[3].