В погоне за красотой

Неужели ученый такого масштаба, такой тонкий аналитик не смог получить несколько элементарных следствий и выбрать за постулат наиболее естественное и очевидное?

Неужели он — последователь Аристотеля и Платона — мог упустить такую возможность?

Неужели он мог погубить всю гармонию геометрии, вызвав тем самым гнев бессмертных олимпийских богов?

Неужели любой из великого скопища комментаторов глубже и лучше разбирался в проблеме, чем он?

Читатели, конечно, отлично понимают, что все эти лицемерные восклицания автор позволяет себе с единственной целью — подчеркнуть абсурдность подобных предположений. Говоря же серьезно, наиболее правдоподобная версия такова.

Евклид, как и его предшественники, безусловно, пытался свести пятый постулат в ранг теоремы — доказать его, не привлекая дополнительных предположений.

Учитывая исключительное положение пятого постулата в «Началах», а также пресловутые 28 теорем, предшествующие ему, можно уверенно заключить, что эта проблема волновала Евклида, что уделял он ей особое внимание.

Вспомнив, что все методы элементарной геометрии были полностью разработаны уже в те времена, вспомнив, что, например, исследования по теории конических сечений неизмеримо сложнее большинства рассуждений, связанных с пятым постулатом…

Вспомнив (еще раз), что пятый постулат в той форме, как приводит его Евклид, — это граничащий с издевкой вызов всем требованиям Платона и Аристотеля…

Вспомнив, что Евклид был, судя по всему, их верным последователем…

Вспомнив, наконец, что Евклид был блестящий геометр…

Мы приходим к единственному выводу.

В процессе тщетных попыток доказать пятый постулат Евклид, по-видимому, нашел несколько эквивалентных формулировок. Простых. И очевидных. Но Евклид оказался на высоте.

С одной стороны, он ясно понимал, что, не используя какого-либо эквивалентного предположения, доказать постулат не удается. А с другой — ни одна из эквивалентных форм пятого постулата не удовлетворяла, на его вкус, требованию очевидности. Поэтому он пришел к выводу, что положение очень печально и задача не решена. И, как честный геометр, он решил особо подчеркнуть: пятый постулат — отверженный, презренный уродец в дружном семействе аксиом. А если так, то выбор самой сложной формы и целесообразен и полностью оправдан.

Евклид как бы нарочито подталкивает своих коллег. Не обольщайтесь, не ищите утешения в более приятных эквивалентах моего постулата, не пытайтесь скрыть изъян. Все равно вы не добьетесь той желанной самоочевидности, которая требуется от аксиом. Этот постулат не что иное, как «обратная теорема о параллельных». Его надо доказать при помощи остальных постулатов. Или будет разрушена красота и гармония геометрии. Я не смог разжаловать этот постулат в ранг теоремы. Попробуйте вы.

Короче говоря, я полагаю, что Евклид разобрался в сути лучше и глубже, чем подавляющее большинство его комментаторов. Они либо попадали под гипноз собственных анализов и убеждали себя, что постулат доказан, либо пытались сформулировать какой-либо эквивалентный, «более естественный» постулат. Евклид же, очевидно, ясно понимал, что первой задачи ему решить не удалось, а искать «очевидные» формулировки — означает загонять болезнь вглубь.

Во всей этой довольно стройной версии есть, конечно, слабое место. Если были какие-то исследования, то непонятно, почему Евклид их не опубликовал. Это неясно и автору. Возможно, он считал неудобным публиковать теоремы, не приводящие к каким-то результатам. Может быть, он, как и многие крупные ученые, не любил публиковать незавершенных работ. Не напечатал же Гаусс свои исследования по неевклидовой геометрии! А быть может, какая-то рукопись и существовала.

Как видите, у меня есть очень удобная отговорка. Действительно, сведения наши очень скудны.

Практически наиболее солидный древний источник по истории пятого постулата — это комментарий Прокла к Евклиду. А это, как должен помнить читатель, уже V век нашей эры.

Здесь мы прощаемся с Евклидом. И, расставаясь, скажем ему несколько теплых слов.

Он был хороший, более того — блестящий математик. И великий педагог. Невольно хочется верить, что он был столь же хороший человек, что прожил он долгую и счастливую жизнь в своей солнечной Александрии, распивая с друзьями в минуты отдыха сладкое хиосское либо терпкое кипрское — разбавленное, разумеется: пьянство — порок скифов, но не эллинов, — посмеиваясь над Птолемеем, поучая учеников, читая Гомера и непрестанно работая до конца дней. И будем верить, что каждодневно он возносил хвалу олимпийским богам за то, что они сделали его геометром.

Приятно думать так. И раз уж никто, за отсутствием данных, не сможет нас опровергнуть, так и будем считать.

На этом… Евклиду, сыну Наукрата, прощальный привет.

Задача поставлена.

Посмотрим, что происходило дальше.

Обещанное приложение.

Список аксиом планиметрии

Рассматривается шесть Основных Понятий. А именно. Три Основных Образа (объекта): точка, прямая, плоскость. Три Основных Соотношения: принадлежности (инцидентности), «лежать между» (для точек), движения или совмещения.