В погоне за красотой

Постулат Лежандра. Перпендикуляр и наклонная к общей секущей АВ, расположенные в одной плоскости, непременно пересекаются. (Естественно, с той стороны секущей АВ, где наклонная образует с секущей острый угол.)

Тоже весьма наглядное утверждение. Вместо постулата Евклида тут постулируется один его частный случай. Легко увидеть, что этого вполне достаточно, чтобы доказать пятый постулат в евклидовой форме (обратную теорему о параллельных). Впрочем, для тех, кто только знакомится с геометрией, это достойная и довольно сложная задача, вполне заслуживающая внимания. Я приведу здесь некоторые указания, предоставляя желающим довести дело до конца.

Те, у кого это предложение не вызывает энтузиазма, могут спокойно пропустить всю математику. А мы примем постулат Лежандра — перпендикуляр и наклонная к общей секущей пересекаются — и будем доказывать постулат V в форме Евклида — обратную теорему о параллельных прямых.

Докажем сначала вспомогательную теорему — лемму.

Пусть при пересечении двух прямых I и II третьей оказалось, что <А < ^π/₂, а сумма <А + <С₁ = π. Тогда согласно «прямой теореме» мы знаем, что эти прямые не пересекаются — они параллельны.

Просмотрите снова доказательство «прямой теоремы».

Из точки С опустим перпендикуляр на прямую I.

Это всегда можно сделать. Соответствующая теорема была доказана без всякого участия понятий о параллельных.

Докажите, что при принятом условии (<А < ^π/₂) перпендикуляр СВ будет расположен так, как показано на чертеже.

Доказывайте от противного и используйте теорему о внешнем угле треугольника.

Далее имеем: <D + <N = <C₁, Буква N выбрана, чтобы напоминать о слове «неизвестный».

Затем имеем: <A + <D + <N = π.

(Вспомните условие!)

Рассмотрите теперь Δ АВС.

Для суммы его углов есть три возможности.

<A + <D + ^π/₂ >< π;

Обратите внимание! Нельзя пользоваться теоремой: сумма углов треугольника равна π. Эта теорема — следствие постулата о параллельных.

Рассмотрите сначала гипотезу: <A + <D + ^π/₂ > π.

Сравните это неравенство с равенством <A + <D + <N = π и получите: <N < ^π/₂.

Использовав теперь постулат Лежандра, вы получите, что прямые I и II пересекаются справа от точки В. А это противоречит условию. Следовательно, гипотеза ошибочна.

Рассмотрите теперь гипотезу <A + <D + <N < π.

Совершенно аналогично покажите, что в этом случае прямые I и II пересекутся слева от точки В; отбросьте и эту гипотезу.

Вы доказали сразу две важные теоремы:

1. Сумма углов Δ АВС равна π;

2. Угол N равен 90°.

Теперь докажите «обратную теорему о параллельных», использовав следующее вспомогательное построение.

Дано: пусть при пересечении I и II третьей оказалось, что <A + <C₁ < π, причем <А < ^π/₂.

1. Опустите из точки В перпендикуляр на прямую I.

2. Проведите через точку В заведомо параллельную прямую II, то есть прямую, удовлетворяющую «прямой теореме о параллельных». Докажите, что она пройдет так, как показало на чертеже.

Минуту подумайте теперь и снова, использовав постулат Лежандра, докажите, что прямая II пересечет прямую I.

Тем самым вы «доказали» постулат Евклида. Но не забудьте, что воспользовались эквивалентным постулатом.

Если вы были несколько смущены условием <А < ^π/₂, убедитесь, что оно не ограничивает общности рассуждения.

Проверьте теперь, нет ли в рассуждении ошибок.

Приведенное доказательство имеет по меньшей мере две примечательные особенности.

Во-первых, мы попутно доказали, что стоит принять постулат Лежандра — эквивалент постулата Евклида, как нашелся треугольник, сумма углов которого равна π.

Во-вторых, я нигде не читал этого доказательства, а придумал его за несколько минут. Пишу это отнюдь не из честолюбивой надежды, что читатель будет восхищен моим математическим талантом.

Эквивалентность постулатов Лежандра и Евклида можно доказать и проще и изящней, буквально в две строчки. Нужно только взять пятый постулат в форме аксиомы Плейфера («Через данную точку к данной прямой можно провести лишь одну параллельную»).

Так что, вообще говоря, теорема наша и неуклюжа и ненужна. Ее появление оправдано лишь тем, что она подсказывает другую и уже действительно важную теорему: если сумма углов треугольника равна π, справедлив пятый постулат. Кроме того, она полезна и для «разминки». А самое основное, мне кажется, подобные «исследования» показывают, как самые первые, самые наивные шаги сразу приводят к все новым и новым эквивалентам пятого постулата. И конечно, нет сомнений, что наша нехитрая ниточка рассуждений была протянута не одним и не двумя комментаторами Евклида.

Но, убедившись, как несложно упрощать формулировки пятого постулата, мы невольно должны задуматься: почему же не сделал этого сам Евклид?

Автор не может удержаться. Обстановка требует риторических вопросов. Вот и они.

Неужели Евклид не пытался доказывать свою теорему?