В погоне за красотой

I. Аксиомы соединения (сочетания).

1. Через две точки проходит одна, и только одна, прямая.

2. Всякая прямая содержит по крайней мере две точки.

3. Существуют по крайней мере три точки, не расположенные на одной прямой.

II. Аксиомы порядка.

1. Из трех точек, лежащих на одной прямой, одна, и только одна, лежит между двумя другими.

2. Если А и В — различные точки прямой, то существует по крайней мере одна точка С, лежащая между А и В.

3. Если прямая пересекает одну сторону треугольника (то есть содержит точку, расположенную между двумя вершинами), то она либо проходит через вершину противоположного угла, либо пересекает еще одну сторону треугольника.

Используя аксиомы порядка, можно определить очень важные для дальнейшего понятия. А именно: понятия: «отрезок» «полупрямая» (луч), «угол».

III. Аксиомы движения.

Движение у математиков — понятие основное (первичное). Свойства этого математического движения и определяются аксиомами.

1. При заданном преобразовании движения, обозначим его Д, любая точка А преобразуемой плоскости переходит в одну определенную точку А′.

2. При заданном преобразовании движения Д — в любую точку А′ нашей плоскости переходит некоторая ее точка А.

3. При заданном преобразовании движения Д — различные точки А и В переходят в различные точки А′ и В′.

Эти три аксиомы и показывают, что движение — взаимно однозначное преобразование плоскости в самое себя.

4. Последовательное выполнение двух любых преобразований движения Д₁ и Д₂ также есть преобразование движения. Мы будем обозначать его Д₂ · Д₁.

5. Всякое движение Д имеет обратное себе движение Д^–1, такое, что произведение Д^–1 · Д есть движение, оставляющее все точки плоскости на месте, то есть так называемое тождественное преобразование.

Ввиду аксиомы 4 очевидно, что тождественное преобразование (покой) следует рассматривать как частный случай преобразования движения.

Далее идут аксиомы, показывающие, что при движении не происходит «деформации» плоскости.

6. Если движение преобразует концы отрезка АВ в концы отрезка А′В′ то всякая внутренняя точка отрезка АВ переходит при этом во внутреннюю точку отрезка А′В′.

Теперь следует важнейшая аксиома. Без нее невозможно установить понятие равенства фигур.

7. Если А, В и С — три точки некоторой фигуры, не лежащие на одной прямой, то эту фигуру можно переместить так, что:

а) точка А совместится с любой, заранее заданной точкой А′ плоскости;

б) луч АВ совместится с любым, заранее заданным лучом А′В′, исходящим из точки А′;

в) точка С совместится с некоторой точкой С′ в любой, заранее указанной полуплоскости, опирающейся на луч А′В′ (таких полуплоскостей, естественно, две). После этого дальнейшее движение фигуры невозможно.

И наконец, аксиома, показывающая, что зеркальные отражения — частный случай преобразования движения.

8. Существуют движения, переводящие отрезок АВ в ВА, а угол АОВ в угол ВОА.