В погоне за красотой

В общем у Евклида аксиомы (он сам называет их «общие достояния нашего ума») — истины, относящиеся к любым (а не только к геометрическим) объектам. Например, если А равно С и В равно C, то А равно В. Здесь А и В могут быть числа, отрезки, веса тел, треугольники…

Постулаты же — чисто геометрические аксиомы. Например, первый постулат Евклида: «От каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую линию».

Есть у Евклида и Основные Понятия.

Приводить всю его систему аксиом вряд ли стоит, потому что — мы уже раз десять говорили это — она совершенно неудовлетворительна. Собственно, аксиом планиметрии у Евклида шесть, и мы их опустим. Но постулаты процитируем. Вот первые четыре.

«Нужно потребовать:

I. Чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

II. Чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжить неограниченно.

III. Чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

IV. Чтобы все прямые углы были равны между собой».

Не будем пока подчеркивать плохое в этих постулатах. Простим на время Евклиду и «Началам» все «первобытные недостатки» их, как выразился однажды Николай Иванович Лобачевский. Сейчас нам важно, что все четыре постулата очень элементарны по содержанию. Евклид постулирует здесь абсолютно естественные, понятные, неотъемлемые от нашего сознания, нашей интуиции истины. Все хорошо. И…

Следует пятый постулат.

Глава 3 Пятый постулат

Вот он, постулат V.

Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 2d (180°), то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2d.

Чего стоит одна формулировка! Во-первых, масса слов. Во-вторых, сколько геометрических понятий! Человек, незнакомый с основами геометрии, вообще ничего не поймет. Постулат совершенно не похож на предыдущие. Он звучит как теорема. И не слишком простая. Он явно выглядит странно. И прежде чем мы пойдем дальше, позвольте преклониться перед Евклидом.

Хотя у меня, естественно, нет доказательств, я убежден: пятый постулат сознательно сформулирован в столь нехорошей форме. И в этом таится великая мудрость «творца «Начал».

Из всех возможных формулировок пятого постулата Евклид выбрал наисложнейшую, наинеуклюжейшую. Почему? Чтобы ответить, посмотрим, как он строит геометрию.

После аксиом и постулатов Евклид, естественно, доказывает теоремы. И 28 первых теорем он доказывает, игнорируя пятый постулат. Для этих теорем он не нужен. Они — эти «28» — безразличны к пятому постулату. Они, как говорят, относятся к абсолютной геометрии.

Среди «28» есть и теорема о внешнем угле треугольника. У Евклида она идет за № 16. Заключают список, как, вероятно, догадались проницательные читатели, теоремы № 27 и № 28. Эти теоремы содержат так называемую «прямую теорию» параллельных линий. Докажем их, объединив в одну.

Пусть две прямые пересекаются третьей в точках Р и Р₁.

Утверждается: если <А = 1, прямые параллельны.

Доказываем от противного. Допустим сначала, что прямые пересеклись в точке C. Тогда возник Δ РР₁С, у которого внешний <A₁ равен внутреннему, не смежному с ним <А. Но это невозможно. Теорема — «Внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним» — не допускает этого! Следовательно, прямые не могут пересечься при продолжении направо.

Есть вторая возможность. Прямые пересеклись в точке C₁. Тогда возникает Δ РР₁С₁. Для него — <B внешний, а <B₁ — внутренний, не смежный с <B.

Но <B = <A; <B₁ = <A₁ как вертикальные.

Однако <A = <A₁ — это дано в условии; значит, <B = <B₁.

И по существу, все закончено.

Для гипотетического треугольника РР₁С₁ <В внешний, а <B₁ — внутренний, не смежный с ним. И они равны. Но этого не может быть. Значит, Δ РР₁С₁ существовать не может. И значит, прямые не пересекаются и в точке С₁.

Теорема доказана полностью.

Конечно, читателям ясно, что В и В₁ были введены, чтобы для гипотетического Δ РР₁С₁ полностью скопировать ситуацию, которая сразу возникла для Δ РР₁С (для первого треугольника).

Теперь, чтобы полностью повторить Евклида, введем в наш рисунок еще четыре угла. Какие — видно на чертеже.

Из равенства <A = <A₁ немедленно следует целое семейство равенств.

1. <B = <A₁; <C = <D₁ — эти углы называются «внешними накрест лежащими».

2. <А = <B₁; <D = <С₁ — это «внутренние накрест лежащие».

3. <D = <D₁; <C = <С₁; <B = <B₁; и, само собой, <A = <A₁. Все эти углы называются соответственными.

<D + <B₁ = π;

<А + <С₁ = π;

<С + <А₁ = π;

<B + <D₁ = π.

Здесь выступают внутренние и внешние односторонние углы.