Вавилон. Месопотамия и рождение цивилизации. MV–DCC до н. э.

Использование таких таблиц, чтобы выполнить умножение даже очень больших чисел, было относительно простым, однако деление представляло собой проблему. Вавилоняне решали ее способом аналогичным тому, который признают большинство людей, которые ходили в школу до последней трети XX в. В тех случаях, когда мы сверялись с таблицами десятичных логарифмов, что давало возможность выполнять большие вычисления с применением только сложения и вычитания, они использовали таблицы обратных величин: единица, поделенная на соответствующее число (например, величина обратная двум – это одна вторая, или 0,5, обратная четырем – одна четвертая, или 0,25, обратная пяти – одна пятая, или 0,2). С таблицами обратных величин под рукой они могли превращать деление в умножение, потому что деление на какое-то число – это то же самое, что умножение на обратную ему величину: 12 разделить на 4 – это то же самое, что 12 умножить на 0,25.

Часто использовали и другие таблицы – квадратов и кубов, равно как и корней квадратных и кубических. С ними вавилонские ученики справлялись с по-настоящему сложными математическими задачами. Они умели решать линейные уравнения – метод, схожий, как отмечают современные математики, с методом исключения Гаусса – квадратные и кубические уравнения, вычислять гипотенузу прямоугольного треугольника (теорема Пифагора) и площадь многоугольников, работать с окружностями и хордами окружностей – они называли их тетивой. Вычисленное ими приближенное значение пи составляло 3¹/₈ или 3,125, что не сильно отличается от величины, которую используем мы, – 3,14159; по крайней мере, она ближе, чем значение 3, установленное в Библии приблизительно тысячелетием позднее.

Если все вышесказанное выглядит пугающе, то лишь потому, что оно выражено абстрактным языком современной математики. Вавилонские преподаватели придавали таким задачам более доступную форму. Как в школьных учебниках Викторианской эпохи, они помещали их в совершенно конкретные, практические ситуации. Как наши предки в XIX в. решали задачи типа «Если 8 человек за 14 дней могут скосить траву со 112 акров земли, то сколько нужно человек, чтобы за десять дней скосить траву с 2 тысяч акров?», так и вавилонские школьники бились над задачей: «С объемом земли равным 90 я захвачу город, враждебный Мардуку. С подножия земляной насыпи я прошел вперед 32 длины. Высота земляной насыпи – 36. Какое расстояние я должен пройти, чтобы захватить город?»

Выражение математики в форме практических задач распространялось даже на сложную алгебру. Если в наши дни мы можем попросить студента найти величину х в квадратном уравнении 11х² + 7х = 6,25, то текст, относящийся приблизительно к 1800 г. до н. э., гласит: «Я прибавил семь раз сторону моего квадрата к его площади, увеличенной в 11 раз, и получил 6,15». В вавилонской шестидесятеричной системе счисления 6 и ¹⁵/₆₀ представляют наше число 6,25, или шесть с четвертью[2]. Задача сводилась к тому, чтобы найти длину стороны квадрата (она была сформулирована в терминах воображаемой геометрии, в которой можно складывать длину и площадь). Там, где современный математик использует общую квадратичную формулу, вавилоняне получали решение таким образом: «Берешь 7 и 11. Умножаешь 11 на 6;15 и получаешь 1,8;45. Делишь 7 пополам и получаешь 3;30. Умножаешь 3;30 на 3;30. Прибавляешь результат 12;15 к 1,8;45, и результат 1;21 дает 9 в качестве квадратного корня. Вычитаешь 3;30, которое ты умножал само на себя, из 9 и получаешь 5;30. Величина обратная 11 не делится. Что я должен умножить на 11, чтобы получить в результате 5;30? Множителем является 0;30. Сторона квадрата равна 0;30».

Что характерно для Вавилонии, процедура нахождения решения подробно описана, но никогда не объясняется и не сводится к принципу. Один современный математик предположил, что такой подход знаком любому, кто помнит, как «подвергался обучению старомодной алгебре в высшей школе, когда учился решать, скажем, квадратные уравнения, решая большое количество задач с различными коэффициентами вместо формулировки и доказательства теоремы, показывающей раз и навсегда, как решать любое квадратное уравнение, какое может встретиться».

Так ли это – я должен убедиться

Предпочтение конкретного абстрактному, практики – теории, конкретных примеров – общим законам распространялось на все области учения, мышления и интеллектуальной жизни в Вавилонии. Оно стало самой значительной характеристикой этой высшей точки месопотамской цивилизации, а также до и длительное время после нее, что, возможно, являлось одной из причин, по которой грекам, поддерживавшим противоположный подход, всегда приписывали изобретение и открытие большего из того, что на самом деле было унаследовано ими от Месопотамии. Например, вавилонская теория музыки опередила Пифагора и Платона более чем на тысячу лет, но ее идеи были выражены в форме практических инструкций для настройки струн музыкальных инструментов.