Величайшие математические задачи

Вычислительные средства — еще один источник новой математики, успевший уже проявить себя. Обычно они воспринимаются как инструмент математических действий, но не стоит забывать, что математика в равной степени является инструментом понимания и организации вычислений. Этот двусторонний обмен приобретает все большее значение для благополучия и развития обеих областей — не исключено, что когда-нибудь в будущем они просто сольются воедино. Некоторые математики считают, что их с самого начала не следовало разделять. Из множества существующих уже сегодня в этой области тенденций на ум приходит вопрос о работе с очень большими массивами данных. Этот вопрос имеет отношение не только к ДНК, о чем уже упоминалось, но и к задаче предсказания землетрясений, к расчету эволюционных процессов, к проблемам глобального климата, фондового рынка, международных финансов и новых технологий. Наша задача — научиться использовать большие массивы данных для проверки и отладки математических моделей реального мира, которые в дальнейшем дадут нам в руки подлинный контроль над сложнейшими системами.

В отношении того, в чем лично я разбираюсь лучше всего, предсказания в основном негативные, но в то же время это подтверждает, что креативность математического сообщества по-прежнему не снижается. Все математики-исследователи время от времени чувствуют, что их предмет как будто обладает собственным сознанием. Задачи решаются так, как это нужно математике, а не математикам. Мы выбираем, какие вопросы рассматривать, но мы не можем выбирать, какие у этих вопросов должны быть ответы. Вообще, такое ощущение характерно для двух крупных школ, которые отличает разное отношение к природе математики. Последователи Платона считают, что «идеальные формы» математики ведут своего рода независимое существование «где-то там», в некоем собственном царстве, отличном от материального мира. (Существуют более тонкие формулировки, которые, вероятно, звучат более здраво, но суть именно в этом.) Вторые видят в математике общечеловеческую концепцию. Но, в отличие от большинства подобных концепций — законодательной системы, денег, этики, морали, математика представляет собой конструкцию с прочной логической основой. Существуют серьезные ограничения на то, какие утверждения вы можете или не можете предлагать остальным. Именно из-за этих ограничений возникает впечатление, что математика сама решает, что ей делать и как развиваться; они же создают у математиков ощущение, что их наука существует сама по себе вне зоны человеческой деятельности. Мне представляется, что платонизм — это описание не того, что есть математика на самом деле, а того, как ощущает математику человек, в ней работающий. Примерно так человек, увидевший розу, кровь или светофор, живо ощущает «красное». Философы называют подобные ощущения «первичными», некоторые из них даже считают, что наше ощущение свободы воли на самом деле представляет собой первичное ощущение того, как мозг принимает решения. Выбирая из нескольких вариантов, мы уверены, что действительно свободны в своем выборе, — хотя не исключено, что динамика мозга в каком-то смысле детерминирована. Тогда платонизм — это первичное ощущение участия в общечеловеческом процессе, ограниченном жесткими рамками логических построений.

Так что может показаться, что математика обладает собственным сознанием, даже если на самом деле она создается коллективной интеллектуальной деятельностью людей. История учит нас, что математическое сознание — в этом смысле — более изобретательно и удивительно, чем можно себе представить. Все это лишь подходы к моему главному утверждению: единственное, что можно с уверенностью предсказать в математике, это ее непредсказуемость. Важнейшие математические вопросы начавшегося столетия возникнут как естественные, иногда даже неизбежные, следствия накопления наших знаний о нынешних великих задачах математики. Однако почти наверняка это будут вопросы, которые никто сегодня не может даже вообразить. Это верно и правильно, и нам нужно этому радоваться.

17. Двенадцать задач на будущее

Не хочу оставить у вас неверное впечатление, что большинство математических задач (за исключением нескольких особенно сложных) уже решено. Математические исследования напоминают изучение новооткрытого материка. По мере того как расширяется уже исследованная область, становится длиннее и граница между известным и неизвестным. Я не утверждаю, что чем больше математических закономерностей мы открываем, тем меньше знаем. Я говорю, что чем больше математических закономерностей мы открываем, тем лучше представляем себе объемы непознанного. Но непознанное изменяется со временем: одни задачи уходят в прошлое, на горизонте появляются другие. А область известного только расширяется, если, конечно, не говорить о случайно утерянных документах.