Величайшие математические задачи

В главе 7 мы видели, что одни алгебраические числовые поля имеют единственное разложение на простые множители, а другие — нет. Лучше всего изучены квадратичные алгебраические числовые поля, полученные путем извлечения квадратного корня из некоего числа d, которое не является полным квадратом, более того, не имеет делителей — полных квадратов. Соответствующее кольцо алгебраических целых чисел, состоящее из всех чисел вида a+b√d, где a и b — целые числа, если d не имеет вид 4k + 1, и либо целые, либо нечетные целые, деленные на 2, если d имеет такой вид.

Если d отрицательно, то мы знаем, что разложение на простые множители является единственным ровно для девяти чисел: −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67 и −163. Доказательство единственности в этих случаях относительно понятно, но вот поиск других таких чисел очень сложен. В 1934 г. Ганс Хайльбронн и Эдвард Линфут показали, что к этому списку можно добавить не более одного отрицательного целого числа. Курт Хегнер в 1952 г. предложил доказательство полноты списка, но считалось, что в этом доказательстве есть пробел. В 1967 г. Гарольд Старк нашел полное доказательство, заметив при этом, что оно незначительно отличается от доказательства Хегнера, т. е. что пробел не имел значения. Примерно в то же время Алан Бейкер нашел еще одно доказательство.

Случай, когда d положительно, совсем не такой. Разложение на простые множители единственно для гораздо большего числа значений d. Только до 50 это 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 29, 31, 33, 37, 38, 41, 43, 46, 47. Компьютерные расчеты позволяют получить еще много значений. Насколько нам известно, может существовать бесконечно много положительных значений d, соответствующее которым квадратичное числовое поле однозначно раскладывается на простые множители. Эвристический анализ, проведенный Коэном и Ленстрой, позволяет предположить, что примерно три четверти всех положительных d, по идее, должны определять числовые поля с однозначными разложениями. Проблема в том, чтобы доказать, что эти наблюдения верны.

Муравей Лэнгтона

Годы идут, и становится все более очевидным, что традиционные методы математического моделирования уже не справляются с задачами, которые ставит перед собой человечество: моделированием глобальной финансовой системы, динамики экосистем, роли генов в росте и развитии живых организмов. Во многие из этих систем входит гигантское количество действующих «лиц» — людей, компаний, организмов, генов, взаимодействующих между собой. Нередко эти взаимодействия можно смоделировать при помощи достаточно простых правил. В последние 30 лет получил развитие новый тип модели, который пытается разобраться с поведением подобных систем, что называется, «в лоб». К примеру, чтобы понять, как 100 000 человек будут вести себя на стадионе, мы не станем усреднять их и превращать в своего рода человеческую жидкость, течение которой затем следует рассматривать. Нет, мы строим компьютерную модель из 100 000 отдельных модулей, накладываем на них подходящие ограничения, устанавливаем правила и запускаем процесс моделирования, чтобы посмотреть, что будет делать эта компьютерная толпа. Такого рода модели в математике называют сложными системами.

Чтобы дать вам некоторое представление об этой новой и очень интересной области математики, я опишу одну из простейших сложных систем и объясню, почему мы не понимаем ее до конца. Эта система называется муравьем Лэнгтона. Кристофер Лэнгтон был одним из первых сотрудников Института Санта-Фе, который основали в 1984 г. физики Джордж Коуэн, Марри Гелл-Ман и другие для развития теории и приложений сложных систем. Лэнгтон придумал своего муравья в 1986 г. Технически это клеточный автомат, система клеток квадратной решетки, состояния которых обозначаются цветом. На каждом временно́м шаге цвет каждой клетки изменяется в соответствии с цветом соседних с ней клеток.