Величайшие математические задачи

Одно из самых интересных следствий гипотезы ABC связано с гипотезой Морделла. Фальтингс доказал это достаточно хитрым способом, но его результат был бы более убедительным, если бы нам известна была еще одна вещь: предел размера решений. Тогда существовал бы алгоритм поиска их всех. В 1991 г. Ноам Элкис показал, что частный случай гипотезы ABC, в которой различные постоянные ограничены, подразумевает такое улучшение теоремы Фальтингса. Лоран Море-Бэйи показал, что обратное верно. Из достаточно серьезных ограничений на величину решений всего одного диофантова уравнения, y² = x⁵ — x, следует полная гипотеза ABC. Вообще, гипотеза ABC, хотя и не так хорошо известна, как многие другие нерешенные задачи, безусловно, является одной из великих математических задач. Как сказали Гранвиль и Томас Такер, ее решение оказало бы «необычайное влияние на наши представления о теории чисел. Было бы здорово доказать или опровергнуть ее»{46}.

Глоссарий

Алгебраическое целое число. Комплексное число, удовлетворяющее полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами и коэффициентом при наибольшей степени 1. К примеру, i√2, удовлетворяющее уравнению x² + 2 = 0.

Алгебраическое число. Комплексное число, удовлетворяющее полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами или эквивалентными рациональными коэффициентами. К примеру, i√2/3 удовлетворяет уравнению или эквивалентно 9x² + 2 = 0.

Алгебраическое многообразие. Множество в многомерном пространстве, определяемое системой алгебраических уравнений.

Алгоритм. Определенная процедура решения задачи, гарантированно приводящая к ответу.

Арифметическая прогрессия. Последовательность чисел, в которой каждое следующее число равно предыдущему плюс некая постоянная величина, разность прогрессии. Пример такой последовательности: 2, 5, 8, 11, 14… с разностью 3.

Асимптотический. Две величины, определенные через одну переменную, асимптотически равны, если по мере произвольного роста переменной их отношение все сильнее приближается к 1.

Бозон Хиггса. Элементарная частица, существование которой объясняет, почему все частицы обладают массой. О его открытии на Большом адронном коллайдере было объявлено в июле 2012 г.

Вектор. В механике величина, которая характеризуется как размером, так и направлением.

Верхняя граница. Конкретное число, гарантированно большее, чем некая искомая величина.

Вихрь. Жидкость, кружащаяся в водовороте. Может быть любого размера, в том числе очень маленького.

Волна. Возмущение, которое движется сквозь среду — твердое тело, жидкость или газ, не оставляя после себя в среде никаких постоянных изменений.

Вращение (поворот). На плоскости: преобразование, при котором все точки сдвигаются на один и тот же угол вокруг фиксированного центра. В пространстве: преобразование, при котором все точки сдвигаются на один и тот же угол вокруг фиксированной прямой — оси вращения.

Время разрушения решения. Время, после которого решение дифференциального уравнения прекращает существовать.

Гомология (группа). Топологический инвариант пространства, определенный замкнутыми петлями. Две петли гомологичны, если их разность представляет собой границу топологического диска.

Гомотопия (группа). Топологический инвариант пространства, определенный замкнутыми петлями. Две петли гомотопичны, если любая из них может быть непрерывно преобразована во вторую.

Гранецентрированная кубическая решетка. Повторяющаяся в пространстве совокупность точек. Кубики ставятся рядами и один на другой, образуя как бы трехмерную шахматную доску, а затем берутся их вершины и центры всех шести граней (см. рис. 17, 19).

Граница. Край определенной области.

Группа. Абстрактная алгебраическая структура, включающая в себя множество и правило комбинирования двух любых элементов множества, соответствующее трем условиям: в нем выполняется сочетательный закон, существует единичный элемент и каждому элементу соответствует обратный элемент.

Действительное число. Любое число, которое может быть выражено десятичной дробью, возможно, бесконечной. Пример: π = 3,1415926535897932385…

Дзета-функция. Комплексная функция, введенная Риманом и представляющая простые числа аналитически. Определяется рядом

который сходится, если действительная часть s больше единицы. Это определение может быть расширено на все комплексные s при помощи процесса, известного как аналитическое продолжение.

Динамическая система. Любая система, которая изменяется во времени по определенным правилам. К примеру, движение планет в Солнечной системе.

Диофантово уравнение. Уравнение, решения которого должны быть рациональными числами.