Величайшие математические задачи

Это диофантово уравнение x^a +y^b = z^c, где a, b и c — положительные целые числа, показатели степени. Я назову это уравнение уравнением Ферма — Каталана, потому что его решения имеют отношение как к Великой теореме Ферма (см. главу 7), так и к гипотезе Каталана (см. главу 6). Если a, b и c малы, ненулевые целые решения не особенно удивительны. К примеру, если все они равны 2, мы имеем уравнение Пифагора, которое, как известно со времен Евклида, имеет бесконечно много решений. Так что основной интерес представляют те случаи, когда показатели степени велики. Формально они являются «большими», когда s = 1/a + 1/b + 1/c меньше 1. Известно лишь десять больших решений уравнения Ферма — Каталана:

1 + 2³ = 3²,

2⁵ + 7² = 3⁴,

7³ + 13² = 2⁹,

2⁷ + 17³ = 71²,

3⁵ + 11⁴ = 122²,

17⁷ + 76 271³ = 21063928²,

1414³ + 2213459² = 65⁷,

9262³ + 15312283² = 113⁷,

43⁸ + 9622³ = 30042907²,

33⁸ + 159034² = 15613³.

Первое из этих решений считается большим, потому что 1 = 1^a для любого a и для a = 7 в том числе. Гипотеза Ферма — Каталана утверждает, что для больших s уравнение Ферма — Каталана имеет лишь конечное число целых взаимно простых решений. Основной результат доказали в 1997 г. Анри Дармон и Лоик Мерель: не существует решений, в которых c = 3, а a и b равны и больше 3. Больше почти ничего не известно. Дальнейший прогресс, судя по всему, зависит от поразительной новой гипотезы, речь о которой пойдет ниже.

Гипотеза ABC

В 1983 г. Ричард Мейсон обратил внимание на то, что один случай Великой теоремы Ферма никем никогда не рассматривался: речь идет о первых степенях. Иными словами, об уравнении a + b = c.

На первый взгляд, эта мысль абсолютно бессмысленна. Чтобы решить это уравнение для любой из трех переменных, выразив ее через две остальные, не нужны большие познания в алгебре. К примеру, a = c — b. Однако есть еще контекст, который меняет все. Мейсон понял, что, если задать в отношении a, b и c правильные вопросы, все становится намного глубже. Результатом этой необыкновенной идеи стала новая гипотеза теории чисел с далекоидущими последствиями. Будучи доказанной, она помогла бы математикам разобраться с множеством нерешенных на данный момент задач и найти более качественные и простые доказательства некоторых крупнейших теорем теории чисел. Речь идет о гипотезе ABC, в пользу которой говорит огромное количество численных свидетельств. Основана она на свободной аналогии между целыми числами и многочленами.

Евклид и Диофант знали рецепт для пифагоровых троек, который мы сегодня записываем в виде формулы (см. главу 6). Можно ли применить ту же уловку к другим уравнениям? В 1851 г. Жозеф Лиувилль доказал, что для уравнения Ферма для степеней 3 и выше подобной формулы не существует. Мейсон применил аналогичные рассуждения к более простому уравнению

a(x) +b(x) =c(x)

для трех многочленов. Вроде бы это чрезмерно, ведь все решения можно найти при помощи элементарной алгебры. Тем не менее главный результат элегантен и далеко не очевиден: если каждый многочлен имеет делитель, который представляет собой полный квадрат, куб или более высокую степень, то уравнение не имеет решений.

Теоремы о многочленах часто имеют аналоги среди теорем о целых числах. В частности, неприводимые многочлены соответствуют простым числам. Естественный аналог теоремы Мейсона о многочленах в области целых чисел выглядит так. Пусть a + b = c, где a, b и c — целые числа без общих делителей. Тогда простых делителей у каждого из чисел a, b и c меньше, чем различных простых делителей у числа abc. К несчастью, простые примеры показывают, что это неправда. В 1985 г. Дэвид Массер и Джозеф Эстерле модифицировали это утверждение и предложили вариант гипотезы, который не противоречит никаким известным примерам. Очень возможно, что их гипотеза ABC на данный момент является крупнейшей открытой проблемой в математике{45}. Если бы завтра кто-то доказал гипотезу ABC, многие глубокие и сложные теоремы, доказанные в последние десятилетия с громадными усилиями, получили бы новые простые доказательства. Еще одним следствием стала бы гипотеза Маршалла Холла: разность между любым полным кубом и любым полным квадратом должна быть достаточно большой. Наконец, еще одно потенциальное приложение гипотезы ABC — задача Брокара, первая в этой главе. В 1993 г. Мариус Оверхольт доказал, что если гипотеза ABC верна, то уравнение Брокара имеет конечное число решений.