Величайшие математические задачи

Куда больше шума наделало построение, обойтись без которого было никак нельзя: имея заданный круг, построить квадрат той же площади. Это и есть задача о квадратуре круга. С точки зрения греков, если невозможно решить эту задачу, то нельзя и утверждать, что круг вообще имеет площадь. Ну и что, что он очевидно заключает в себе определенное пространство — площадь-то интуитивно определяется по тому, сколько пространства заключает в себе фигура. Евклид и его последователи, в частности Архимед, сошлись на прагматическом решении: они считали, что круг имеет площадь, но построить квадрат той же площади невозможно. О площади круга, конечно, тоже можно кое-что сказать. К примеру, можно доказать со всей логической строгостью, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. А вот что невозможно сделать, не решив задачу квадратуры круга, так это начертить отрезок, длина которого будет представлять собой коэффициент этой пропорциональности.

Греки не смогли решить задачу квадратуры круга при помощи линейки и циркуля, им пришлось удовлетвориться другими методами. Один из них воспользовался для этого кривой, получившей название квадратрисы. Судя по всему, позднейшие комментаторы сильно преувеличили значение, которое греческие геометры придавали тому, что всякое построение должно делаться только при помощи линейки и циркуля. По сути, мы даже не можем сказать наверняка, действительно ли греки считали квадратуру круга такой важной задачей. К XIX в., однако, эта проблема приобрела поистине вселенские масштабы. Математика, не способная ответить на такой простой и понятный вопрос, — все равно что повар, не способный сварить яйцо вкрутую.

Формулировка задачи — квадратура круга — звучит очень по-геометрически. Так и есть, это действительно геометрическая задача. А вот решение ее, как оказалось, лежит в области вовсе не геометрии, а алгебры. Дело в том, что решение великих задач часто основывается на выявлении неожиданных связей между разными, на первый взгляд, разделами математики. Связь геометрии и алгебры сама по себе не является чем-то беспрецедентным, но тот факт, что она имеет какое-то отношение к квадратуре круга, был замечен далеко не сразу. А потом, когда связь уже была установлена, возникли чисто технические сложности, и для их разрешения потребовалось привлечь еще один раздел математики — математический анализ. По иронии судьбы первый шаг к прорыву был сделан в четвертой области математики — в теории чисел. В результате была решена геометрическая задача, в решаемость которой греки не поверили бы даже в самых смелых своих мечтах и о которой, насколько нам известно, никогда не думали: задача о построении при помощи циркуля и линейки правильного многоугольника с 17 сторонами.

Звучит дико, особенно если добавить, что для правильных многоугольников с 7, 9, 11, 13 или 14 сторонами ничего подобного не существует, зато многоугольник с 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 12 сторонами построить можно. Однако в данном случае за безумием скрывается система, причем такая, что ее выявление заметно обогатило математику.

Начнем с начала: что такое правильный многоугольник? Многоугольник вообще — это фигура, ограниченная прямыми линиями. Многоугольник называется правильным, если все отрезки прямых имеют одинаковую длину и пересекаются под одинаковыми углами. Самый известный пример — квадрат: все четыре его стороны имеют одинаковую длину, а все четыре угла являются прямыми. Существуют и другие фигуры — с четырьмя равными сторонами или с четырьмя равными углами: это, соответственно, ромб и прямоугольник. Только квадрат обладает обоими свойствами одновременно. Правильный трехсторонний многоугольник — это равносторонний треугольник; существуют также правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т. д. (рис. 4). Евклид приводит методы построения при помощи циркуля и линейки правильных многоугольников с 3, 4 и 5 сторонами. Кроме того, греки умели последовательно удваивать число сторон, выстраивая многоугольники с 6, 8, 10, 12, 16, 20 и более сторонами. Объединив методы построения правильных многоугольников с 3 и 5 сторонами, они получили правильный 15-угольник. Но на этом продвижение остановилось, и далее, на протяжении 2000 лет, на этом направлении ничего не менялось. Никто не думал, что в этом списке могут появиться многоугольники с еще каким-то числом сторон. Никто даже не задавался этим вопросом: всем казалось, что ничего больше сделать не удастся.

Понадобилось вмешательство одного из величайших математиков всех времен, чтобы обдумать немыслимое, задаться вопросами, задавать которые бесполезно, и получить поистине поразительный ответ. Имя этого математика — Карл Гаусс.