Величайшие математические задачи

Какие свойства пространственных фигур сохраняются при всех непрерывных деформациях? Не длина, не площадь, не объем… А вот заузленность сохраняется. Если завязать кривую узлом и соединить концы, создав замкнутую петлю, то узел уже никуда не денется. Как бы вы ни деформировали пространство, кривая останется завязанной. Таким образом, мы имеем дело с геометрией нового типа, где важные и осмысленные концепции кажутся, на первый взгляд, несколько расплывчатыми: «внутри», «замкнутый», «простой», «завязанный». Называется эта новая геометрия весьма респектабельно: топологией. Нематематику она может показаться странной или даже абсурдной, но на поверку это одна из основных областей математики ХХ в., и свое значение она сохраняет и в XXI в. А Пуанкаре — один из тех, кого мы в первую очередь должны за это благодарить.

История топологии началась почти за столетие до Пуанкаре — в 1813 г. Симон Люилье, швейцарский математик, при жизни не снискал громкой славы, но отверг крупную сумму денег, которую кто-то из его родственников предлагал ему за принятие церковного сана. Люилье предпочел карьеру в математике. Работал он в основном в тихой математической заводи: занимался теоремой Эйлера о многогранниках. В главе 4 мы упоминали один занятный и вроде бы ни с чем не связанный факт: если у многогранника F граней, V вершин и E ребер, то F — E + V = 2. Люилье большую часть жизни исследовал варианты этой формулы, и с высоты сегодняшнего дня ясно, что он сделал важнейший шаг в направлении топологии, когда обнаружил, что формула Эйлера не всегда верна. Ее применимость зависит от качественных характеристик многогранника.

Формула верна для многогранников без отверстий, которые можно нарисовать на поверхности сферы или на поверхности, полученной из сферы непрерывным преобразованием. Но если в многограннике есть отверстия, формула перестает работать. К примеру, рамка для картины, изготовленная из прямоугольного в сечении деревянного бруска имеет 16 граней, 32 ребра и 16 вершин; здесь F — E + V = 0. Люилье доработал формулу Эйлера для подобных экзотических многогранников: если в многограннике g отверстий, то F — E + V = 2 − 2g. Так был открыт первый важный топологический инвариант: величина, которая связана с пространством и не меняется при любых непрерывных преобразованиях пространства. Инвариант Люилье позволяет точно подсчитать, сколько отверстий имеет та или иная поверхность, не определяя строго, что такое «отверстие». Это полезно, поскольку «отверстие» — понятие достаточно сложное. Отверстие — не часть поверхности и не область вне поверхности. Очевидно, это свойство того, как поверхность располагается в окружающем пространстве. Но открытие Люилье показывает, что то, что мы интерпретируем как количество отверстий, есть свойство, изначально присущее поверхности и не зависящее от окружающего пространства. Нет необходимости определять отверстия, а затем считать их; лучше вообще не делать этого.

После Люилье следующей ключевой фигурой в предыстории топологии стал Гаусс. Работая в различных областях математики, он столкнулся с несколькими другими топологическими инвариантами. Работа в комплексном анализе, особенно над доказательством того, что каждое полиномиальное уравнение имеет по крайней мере одно решение в комплексных числах, заставила его рассмотреть порядок кривой на плоскости: сколько оборотов она делает относительно заданной точки. Задачи из области электричества и магнетизма подсказали коэффициент зацепления двух замкнутых кривых: сколько раз одна из них проходит сквозь другую. Эти и другие примеры привели Гаусса к мысли о существовании некоего пока не открытого раздела математики, в котором предлагался бы последовательный взгляд на качественные свойства геометрических фигур. Он ничего не публиковал по этой теме, но упоминал ее в письмах и рукописях.

Кроме того, он сообщил эти соображения своему ученику Иоганну Листингу и своему сотруднику Августу Мёбиусу. Я уже упоминал ленту Мёбиуса — поверхность, у которой есть лишь одна сторона и один край. Статью о ней он опубликовал в 1865 г., а саму ее можно увидеть на рис. 9 в главе 4. Мёбиус указал, что определение «имеющая одну сторону» интуитивно понятно, но тем не менее не точно, и предложил вместо него близкое свойство, которое можно определить совершенно строго. Это свойство — ориентируемость. Поверхность ориентируема, если ее можно покрыть сетью треугольников со стрелками вдоль сторон таким образом, что всюду, где два треугольника имеют общую сторону, стрелки указывают в противоположных направлениях. Если вы разместите такую сеть на плоскости и направите все стрелки в треугольниках, к примеру, по часовой стрелке, то именно так и произойдет. А вот на ленте Мёбиуса такая сеть невозможна.