Величайшие математические задачи

В любом случае Пуанкаре очень интересовался трехмерной сферой, потому что это, предположительно, простейшее трехмерное топологическое пространство конечной протяженности, не имеющее границы. В 1900 г. он опубликовал статью, в которой объявил, что группы гомологий представляют собой достаточно мощный инвариант, чтобы топологически охарактеризовать трехмерную сферу. А именно, если трехмерное топологическое пространство обладает теми же группами гомологий, что и трехмерная сфера, то оно топологически эквивалентно трехмерной сфере (т. е. может непрерывно в нее преобразовываться). К 1904 г., однако, он обнаружил, что это заявление ошибочно. Существует по крайней мере одно трехмерное пространство, которое не является трехмерной сферой, но имеет те же группы гомологий, что и она. Это пространство стало настоящим триумфом подхода, связанного с правилами склеивания, а доказательство того, что это не трехмерная сфера, привело к созданию нового инварианта, заведомо более мощного, чем гомология.

Сначала о пространстве. Оно известно как додекаэдрическое пространство Пуанкаре, потому что в современном построении используется именно заполненный додекаэдр. Пуанкаре не подозревал о родстве своего пространства с додекаэдром. Сам он поступил иначе: склеил два заполненных тора весьма неочевидным способом. Додекаэдрическую интерпретацию опубликовали в 1933 г., через 21 год после смерти Пуанкаре, Герберт Зейферт и Константин Вебер, и она намного проще для понимания. Аналогия, которую здесь следует помнить, это получение тора путем склеивания противоположных сторон квадрата. Как всегда, не нужно пытаться действительно что-то склеить, — достаточно просто помнить, что соответствующие точки рассматриваются именно таким образом. Теперь мы проведем ту же операцию, но возьмем для этого противоположные грани додекаэдра (см. рис. 38).

Пифагорейцы знали о додекаэдре еще 2500 лет назад. Граница додекаэдра состоит из 12 правильных пятиугольников, соединенных в приблизительно сферическую решетку. В каждой его вершине встречаются три пятиугольника. А теперь склеим каждую грань с противоположной… Только для этого их нужно перекрутить. Буквально. Каждую грань, чтобы она совпала с противоположной, нужно повернуть на подходящий угол. Угол берем наименьший из тех, что позволяют совместить соответствующие грани, т. е. 36°. Можно считать это правило своеобразной версией правила изготовления ленты Мёбиуса: конец ленты нужно повернуть на 180°, а затем склеить с противоположным.

Так, пространство получено. А теперь посмотрим на инвариант. Нет, я не растекаюсь мыслью по древу: все это нам потребуется для понимания гипотезы Пуанкаре.

Пуанкаре назвал свой новый инвариант фундаментальной группой. Мы до сих пор пользуемся этим термином, но иногда называем его и иначе: первой гомотопической группой. Гомотопия — это геометрическая конструкция, которая целиком размещается внутри пространства и несет в себе информацию о топологическом типе этого пространства. Она делает это при помощи абстрактной алгебраической структуры, известной как группа. Группа — это набор математических объектов, таких, что комбинация любых двух подобных объектов дает еще один объект той же группы. Для закона комбинирования — его часто называют сложением или умножением, даже если это не те простые операции, которые мы знаем из арифметики — должны выполняться несколько простых и естественных условий. Если мы называем операцию сложением, основные условия такие:

• группа содержит элемент, который ведет себя как нуль: при добавлении к любому другому элементу группы ничего не меняется;

• каждый элемент имеет в группе соответствующий ему элемент с противоположным знаком: при сложении такой пары получается нуль;

• при сложении трех элементов группы не имеет значения, какие два вы складываете первыми. Иными словами, (a + b) + c = a + (b + c). Это называется законом ассоциативности.

Единственный алгебраический закон, который не считается обязательным (хотя иногда и выполняется), — это закон коммутативности{35} a + b = b + a.