Венский кружок. Возникновение неопозитивизма

Затем Поппер указал на то, что теорема Бернулли о предельном значении является независимой и предполагает лишь безразличие относительной частоты по отношению к выборкам. Это указание говорит о том, что из одного этого предположения данная теорема выводима для случайных последовательностей без предельного значения частоты. При интерпретации вероятности как относительной частоты теорема Бернулли гласит: относительная частота распределения признака в достаточно длинном конечном отрезке случайной последовательности сколь угодно мало отличается от средней частоты последовательности в целом, но в коротких отрезках может отличаться значительно больше. Чем меньше отрезок, тем большими могут быть отклонения от средней частоты; чем больше отрезок, тем меньше отклонения, тем больше они выравниваются. Но это есть не что иное, как закон больших чисел. Таким образом, этот закон оказывается тавтологичной переформулировкой теоремы Бернулли и логическим следствием того свойства ряда случайных событий, что им присуща некоторая средняя частота, которая не нарушается в выборках определенного рода. Так разрешается тот парадокс, что, несмотря на «неупорядоченность» таких рядов, при больших числах обнаруживается некоторая «закономерность». Тогда из этого свойства упорядоченности чисто логически следует, что малые отрезки неупорядочены и только в больших отрезках может проявиться порядок в смысле сходимости.

Субъективная теория исчисления вероятностей не может интерпретировать теорему Бернулли как высказывание о частоте в смысле закона больших чисел, поэтому она не в состоянии объяснить применимость исчисления вероятностей к статистическим последовательностям и успешность вероятностных прогнозов. До сих пор частотная теория вероятности постулировала закономерность в виде предельного значения. Поппер сформулировал закон больших чисел в виде математического предложения. Однако оно относится к структуре эмпирических статистических рядов. Закон больших чисел описывает эмпирическое положение дел: существуют ряды событий, малые отрезки которых неупорядочены, а в больших проявляется сходимость. Но если случайный или статистический характер некоторой последовательности можно выразить с помощью математического условия — безразличия к выборке, — то этот закон оказывается справедлив и для эмпирических рядов такого рода. Тогда исчисление вероятностей вместе с законом больших чисел является математической теорией эмпирических областей, или, наоборот, если построены случайные математические последовательности, то существуют эмпирические статистические ряды, которые им соответствуют и поэтому также реализуют закон больших чисел. Математические ряды и закон больших чисел находят эмпирическое приложение.

Высказывания о математической вероятности при их эмпирическом применении нельзя ни верифицировать, ни фальсифицировать, т. е. нельзя полностью подтвердить ни их самих, ни их отрицания. Высказывания исчисления вероятностей неверифицируемы потому, что они относятся к бесконечным рядам, а эмпирически данные ряды всегда конечны. Даже если такой ряд вполне соответствует математическому вероятностному высказыванию, то нет никакой уверенности в том, сохранится ли это соответствие при продолжении этого ряда. Как и при неограниченно общих высказываниях, препятствием для подтверждения здесь служит неизвестное. Но именно поэтому эмпирический ряд не может противоречить математическому вероятностному высказыванию. Отклонения от вычисленной вероятности связаны с характером вероятностной последовательности. Нужно лишь допустить, что в дальнейшем они сгладятся. Поэтому вероятностные высказывания теоретически неразрешимы. Их вообще нельзя подтвердить эмпирически (ibid., S. 194).Но в таком случае они не имеют значения для опыта! Поппер полагал (S. 133), что поэтому они «должны рассматриваться как ‘эмпирически невыразимые’, ‘эмпирически бессодержательные’» и даже логически пустые, «однако такому пониманию противоречит... большой прогностический успех, которого добивается физика с помощью гипотетических вероятностных предсказаний»²¹². Здесь обнаруживается их практическая подтверждаемость или бесплодность и опровержимость.

Это становится понятным при рассмотрении формы вероятностных высказываний и их отношения к базисным предложениям. Из вероятностных высказываний можно вывести следствия, а именно экзистенциальные высказывания, относящиеся к членам или отрезкам некоторого ряда, например: существует отрезок, частота в котором сколь угодно мало отличается от средней частоты. Такие экзистенциальные предложения являются общими: «Всегда существует такой-то и такой член последовательности; это экзистенциальная гипотеза, которая ни верифицируема, ни фальсифицируема». Однако сингулярные экзистенциальные высказывания могут быть верифицированы. Вероятностное высказывание подтверждается в большей, в меньшей степени или совсем не подтверждается в зависимости от того, много, мало или ни одно из этих экзистенциальных следствий реализуется.