Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Функции можно представлять аналитически или в виде приближения другой функцией, таблицы, гистограммы либо графика. Все эти представления — модели одного и того же объекта, случайной величины. Самое важное тут — не столько конкретный вид представления, сколько математические свойства этой функции. Для распределений вероятностей свойства бывают разными: количество параметров, количество мод, энтропия, бесконечная делимость, аддитивность, устойчивость, интегрируемость и т. д. Изучением распределений и их свойств занимается теория вероятностей. Но на практике часто встречается иная задача: необходимо найти модель для случайной величины, если мы не имеем полной информации о ней, но значения которой можем наблюдать, проводя эксперименты. Из огромного арсенала известных распределений с точно определенными свойствами исследователь выбирает не столько «самую похожую» функцию, сколько функцию, наиболее совпадающую по свойствам с наблюдаемой случайной величиной. Это составляет суть статистического анализа, который знаком каждому студенту, прикоснувшемуся к математической статистике.

Сейчас нам нужно задать параметры бутерброда случайными числами, не имея статистических данных, а руководствуясь лишь нужными нам свойствами этих величин. Это важная и интересная часть метода Монте-Карло, от которой зависят и решение, и его корректность.

Размеры бутерброда. Какими они могут быть? Разумной величины канапе имеет сантиметра три в ширину, а студенческий добрый «лапоть» может быть сантиметров пятнадцать. При этом вероятность встретить бутерброд миллиметровой или метровой ширины в практическом смысле равна нулю. Больше про бутерброды я ничего сказать не могу и приму их размеры равномерно распределенными в указанном диапазоне (рис. 3.3). Запишем это так:

l ~ Uniform([3,15]).

Рис. 3.3. Возможное распределение для размеров падающего бутерброда

В случае равномерного распределения на некотором отрезке [a,b] случайная величина имеет всюду одинаковую плотность, равную 1/(b — a). В этом случае плотность распределения принимает вид прямоугольника, а вероятность попасть в какой-нибудь отрезок пропорциональна его длине. Такой выбор не идеален: всё же средние бутерброды мы встречаем чаще крошечных или гигантских. Но позже мы увидим, что это слабое место можно изящно обойти.

Начальное положение. Тут мы, не мудрствуя, зададим равномерное распределение для смещения бутерброда за край стола, лишь бы он вообще упал:

dl ~ Uniform([l/2,l]).

Коэффициент трения. Это неотрицательная безразмерная величина, зависящая только от материала. Столы и скатерти бывают разные, пальцы сжимают бутерброд с разной силой. Диапазон коэффициента от 0,01 до 0,9, при этом крайние значения маловероятны, в среднем можно ожидать около 0,3. Для моделирования неизвестного коэффициента трения нам поможет любое колоколообразное несимметричное распределение неотрицательной величины (рис. 3.4), например гамма-распределение:

μ ~ Gamma(8,25).

Оно будет часто встречаться в этой книге. Почему? Об этом вы узнаете в самом конце.

Рис. 3.4. Возможное распределение для коэффициента трения между бутербродом и поверхностью стола

Начальная скорость. Мы редко запускаем бутерброды с большой скоростью, чаще всего не кидаем их вовсе, но всё же иногда смахиваем. Про величину скорости известно лишь то, что она положительна. Можно предположить, что при смахивании в среднем мы движемся так же, как в среднем руки, — со скоростью около 0,5 м/с. Если про случайную величину известно только это, то ее разумно описать экспоненциальным распределением (рис. 3.5):

v₀ ~ Exp(2).

Рис. 3.5. Возможное распределение для скорости, с которой бутерброд смахивается со стола

Его мода (положение максимума на графике) равна нулю, так что доля бутербродов, упавших без большой начальной скорости, будет вполне приличной. В тонком «хвосте» окажутся бутерброды, нечаянно запускаемые в полет при смахивании крошек со стола. Тут стоит обратить внимание на то, что экспоненциальное распределение, вообще говоря, отлично от нуля на всей положительной полуоси; а это значит, что ненулевую вероятность имеют и сверхзвуковая, и сверхсветовая скорости. Однако вероятность наблюдать их при указанном параметре чрезвычайно мала: для скорости, превышающей 10 м/с, она равна одной миллиардной, так что этой опасностью вполне можно пренебречь.

Эксперимент строился так: я «ронял» со стола фиксированной высоты сотню бутербродов, подсчитывал среди них долю тех, что упали маслом вниз, и, используя частотное определение вероятности, отражал на графике зависимость вероятности такого исхода от высоты стола. Вот что у меня получилось (рис. 3.6).