Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Понятно, что одно наблюдение не дает ровным счетом ничего. Два — немногим больше. Сколько нужно наблюдений — три, четыре, сто, — чтобы получить какое-то знание о случайной величине, в котором можно быть уверенным в математическом смысле? И что это за знание? Скорее всего, оно будет представлено в виде таблицы или гистограммы, дающей возможность оценить некоторые параметры случайной величины, например область определения, среднее или дисперсия, асимметричность и т. д. Быть может, глядя на гистограмму, удастся угадать точную форму распределения. Это и есть основная задача математической статистики: по наблюдаемым реализациям случайной величины выяснить ее распределение, то есть получить по возможности точное и исчерпывающее ее описание. Но — внимание! — все результаты наблюдений сами будут случайными величинами! Пока мы не владеем точным знанием о распределении, все результаты наблюдений дают нам лишь вероятностное описание случайного процесса. Случайное описание случайного процесса — еще бы здесь не запутаться, а то и захотеть запутать намеренно!

Что же делает математическую статистику точной наукой? Ее методы позволяют заключить наше незнание в четкие рамки и дать вычислимую меру уверенности в том, что в этих рамках наше знание о случайной величине согласуется с фактами. Это язык, на котором можно говорить о случайностях неизвестной природы так, чтобы рассуждения имели смысл. Такой подход очень полезен в философии, психологии и социологии, где очень легко пуститься в пространные рассуждения и дискуссии без надежды на получение настоящего знания и тем более доказательства. Грамотной статистической обработке данных посвящено множество книг, ведь это абсолютно необходимый инструмент для медиков, социологов, экономистов, физиков, психологов — словом, всех специалистов, научно исследующих «реальный мир», который отличается от идеального математического лишь степенью нашего незнания о нем. Я получил упрек за то, что использовал кавычки вокруг слов «реальный мир», как если бы не верил в его существование. Такое направление в философии действительно есть, оно называется солипсизмом, но я не его сторонник. Кавычками я хочу подчеркнуть, что не разделяю мир на реальный и идеальный, физический и математический. Я не вижу причин считать математические структуры тем, чего нет в мире, в котором мы живем. Это глубокий вопрос и давний спор: математик исследует настоящую Вселенную или изобретает свою, ненастоящую? Я не хочу долго рассуждать на эту тему, поскольку не вижу, как тот или иной ответ может помочь математику или физику в его работе. Но одним из чудес нашего мира по праву считается то, что он описывается на языке математики, доступном человеку.

Теперь еще раз взгляните на эпиграф к этой главе и осознайте, что статистика, которую так пренебрежительно называют третьим видом лжи, — единственное, чем располагают все естественные науки. Это ли не главный закон подлости мироздания! Все физические и наблюдаемые нами экономические законы строятся на математических моделях и их свойствах, но проверяются они статистическими методами в ходе измерений и наблюдений. В повседневности наш разум делает обобщения и подмечает закономерности, выделяет и распознаёт повторяющиеся образы. Это, наверное, лучшее, что умеет человеческий мозг. Именно этому в наши дни учат искусственный интеллект. Но разум экономит силы и склонен делать выводы по единичным наблюдениям, не сильно беспокоясь о точности или обоснованности этих заключений. По этому поводу есть замечательное самосогласованное утверждение из книги Стивена Браста «Исола»[17]: «Все делают общие выводы из одного примера. По крайней мере, я делаю именно так». И пока речь идет об искусстве, характере домашних любимцев или обсуждении политики, об этом можно сильно не беспокоиться. Однако при строительстве самолета, организации диспетчерской службы аэропорта или тестировании нового лекарства уже нельзя сослаться на то, что «мне так кажется», «интуиция подсказывает» и «в жизни всякое бывает». Тут приходится ограничивать работу своего разума рамками строгих математических методов.

Эта книга не учебник, мы не будем детально исследовать статистические методы и ограничимся лишь одной из техник проверки гипотез. Но мне хотелось бы показать ход рассуждений и форму результатов, характерных для этой области знания. И, возможно, кому-то из читателей, к примеру будущему студенту, не только станет понятно, зачем его мучают матстатистикой, всеми этими QQ-диаграммами, t- и F-распределениями, но и придет в голову другой важный вопрос: а как вообще возможно знать что-нибудь наверняка о случайном явлении? И что именно мы узнаём, используя статистические данные?

Как возможность ошибиться делает науку наукой

Математическая статистика использует методы теории вероятностей, а ее столпы — закон больших чисел и центральная предельная теорема.