ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Можно увидеть Ледшискату, если удастся достать арагонитавую либо селитрянуго пластинку и рассматривать ее в поляризованном свете.

- 377 -

- В частных случаях иногда кубическое уравнение решается довольно просто. Вот задача индусского математика Бхаскара Ачариа, жившего в двенадцатом веке нашей эры:

х³-6х²+ 12x; = 35.

Достаточно в левой части прибавить и вычесть восемь, чтобы получить точный куб:

{х³ - 6x² + 12x -8) +8 = 35,

х³ - 6х² + 12х - 8 = 27;

(x - 2)³ = 27;

х - 2 = 3; х = 5.

Индусский математик нашел только один корень. Другие два будут комплексные, и их легко найти, выделив один из множителей нашего четырехчлена, то есть:

Вот как чертят параболу.

- 378 -

x³ -6x²+ 12x - 35 = 0;

х³ - 5х² - х² + 5х + 7х - 35 = 0;

х²(х - 5) -х (x - 5) + 7 (х - 5) = 0;

(х - 5) (х2 - х + 7) = 0.

Затем ты приравниваешь нулю трехчлен во второй скобке и решаешь квадратное уравнение. Так мы найдем два комплексных корня. А для общего случая есть специальная формула, открытая в шестнадцатом веке итальянским математиком Тарталья, хотя ее чаще называют формулой Кардана, по имени другого математика, современника Тартальи, который ее впервые опубликовал. История этого Тартальи весьма поучительна. В начале шестнадцатого века его родной город Брешиа взяли приступом неприятельские войска. Тарталья, шестилетний мальчик, был найден с разрубленным лицом около бездыханного тела своего отца. Из-за этой раны он так и остался заикой на всю жизнь, а "тарталья" как раз и значит "заика" - это не имя его, а прозвище. Мать его после кончины отца осталась в такой нищете, что взяла своего сынишку из школы, как только он выучил азбуку до буквы "к". Но мальчик горячо любил науку и сам выучился грамоте, потом древним языкам, без которых в то время нельзя было учиться дальше, а затем овладел математикой. А ведь он был до того беден, что даже не мог купить себе бумаги для вычислений и проделывал их на плитах старого кладбища! Тем не менее он стал ученым и сделал немало для алгебры[28]. Вот какая замечательная настойчивость!

- Как наш Ломоносов!

- Правильно! - отвечал Радикс. - Великий был человек Ломоносов. И не зря он выразил уверенность, "что может собственных Платонов и быстрых разумом Невтонов Российская земля рождать".

- А почему он вспоминает Платона?

- Потому что Платон тоже занимался математикой и очень ценил ее. Из его сочинений извлечено теперь много данных о древней науке[29]. Полагают, например, что он дал определение понятию геометрического места. Добавлю, кстати, что кубическая парабола - немаловажная в технике кривая. Например, когда строители железных дорог рассчитывают поворот пути так, чтобы поезд на большой скорости плавно повернул по рельсам, то это закругление нужно рассчитывать именно по кубической параболе.

- 379 -

- Мне еще хочется узнать про максимумы, - попросил Илюша. - Это очень трудно - их определить?

- Да нет, - отвечал Радикс, - не так уж трудно. Давай возьмем пример. Допустим, имеется прямоугольник. Какие Надо взять стороны у прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей, если сумма этих двух сторон равна восемнадцати?

- Плохо я что-то понимаю эту задачу! - заметил Илюша.

- Ты слушай, - отвечал Радикс, - и постепенно уразумеешь. Начнем вот с чего. Пусть наши стороны-множители будут а и b, а их сумма будет с, то есть

а + b = с.

Теперь возьмем квадраты их суммы и разности и вычтем один из другого:

(а + b)²

= а² + 2ab + b²-
(а - b)² = а² - 2ab + b²------------------------
(a + b)² -(a - b)² = 4ab

Так как (а+b) равно с, то мы можем написать:

с² - (a - b)² = 4ab,

или так еще:

ab - c²/4 - (а - b)² / 4

Отсюда ясно, что поскольку с есть величина постоянная, то произведение ab изменяется только в зависимости от изменения разности (а-b), но так как квадрат этой разности с минусом, то ясно, что это произведение тем больше, чем меньше абсолютная величина разности (а-b). Следовательно, произведение двух чисел тогда достигает максимума, когда абсолютная величина их разности достигнет минимума. Тебе это ясно?

- Как будто ясно.

- Ну, поехали дальше! Давай назовем игреком искомое произведение. А части его - одна будет икс, а другая...

- А другая будет восемнадцать минус икс, - подсказал Илюша.

- Верно. Следовательно, игрек будет записан так:

y = x(18 - x)

- 380 -

Теперь возьмем разность наших множителей. Назовем ее игрек со штрихом, то есть игрек-штрих:

y' = x - (18 - x)

Так как мы хотим, чтобы этот игрек-штрих стал минимальным, то поищем, чему должен равняться икс, если игрек-штрих станет нулем. И напишем:

х - (18 - х) = 0;

х - 18 + х = 0;

2х = 18; х = 9.