ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Значит, пока наше q меньше шестнадцати, корни будут действительные, а если q больше шестнадцати, то комплексные.

- Разумеется! - согласился Мнимий.

- А когда q равно в точности шестнадцати, парабола только касается оси абсцисс в точке, равной четырем. Если же q равно нулю, то оба корня будут действительные - один равен нулю, а другой - восьми. Но только... как же нам теперь увидать еще и комплексные корни?

- Не спеши, - отвечал Радикс, - сейчас мы все это соорудим. А уж ты следи внимательнее за этим новым тонким и умным волшебством. Нам ведь нужно определить, существуют ли такие комплексные числа, чтобы при подстановке их в левую часть уравнения мы получили бы действительное число? Существуют ли, а если да, то каковы они?

- 419 -

- Тогда, - отвечал Илья, поразмыслив, - нам придется подставить в левую часть комплексное число (z+iy), а затем посмотреть, что из этого выйдет. Получится, значит, так:

r = (х + iy)² - 8(х + iy) +q= (x²-y²-8x + q) + i{2xy-8y).

Мне кажется, что это выражение может оказаться действительным единственно только в том случае, если вся скобка, на которую умножается i, будет равна нулю.

- Так! - согласился Мнимий. - Верно. Это дело! А в каком случае так оно будет?

- Если, - отвечал мальчик, - я перепишу эту скобку немного иначе:

2ху - 8у = 2у(х - 4),

то ясно, что это может произойти только в двух случаях, либо игрек равен нулю (ну, тут все и так ясно, говорить нечего!), либо икс равен четырем.

- Хорошо! - сказал Мнимий, улыбаясь. - Теперь уж у нас все готово, и мы можем приступить к нашему волшебству, которое нам все и покажет в полной наглядности, как оно и полагается в нашем волшебном царстве, построенном на поучение самым любознательным и дерзновенным юношам...

- Дерзновенным! - с усмешкой повторил Радикс. - Но я слышал, как друг Пушкина, замечательный русский поэт и мыслитель Евгений Баратынский однажды написал:

Надейтесь, юноши кипящие!

Летите, крылья вам даны...

А ведь так оно и полагается, дружище, в нашем светлом волшебном и вполне серьезном царстве для любознательных ребят!

- Ура! - закричал Илья. - Давайте ваше новое волшебство. Вы уж такие волшебники...

- Потише ты! - возразил Радикс. - Не спеши. Поспеешь!

Это будет штучка довольно затейливая. Начнем с того, что это новое волшебство будет не на плоскости, а в пространстве.

- В трехмерном? - робко пропищал Илья.

- Неужто тебе трехмерного мало? - свирепо огрызнулся Радикс. - Можно и четырехмерное, да ты испугаешься! Ну!

Смотри во все глаза.

Радикс медленно и важно махнул рукой. И тотчас же перед Илюшей возникла плоскость, где были начерчены обыкновенные декартовы координаты (икс, игрек, как оно и полагается!).,

- 420 -

Направо от начала координат была проведена еще одна прямая, параллельная оси игрек, как раз в том самом месте, где икс равнялся четырем.

- Смекаешь? - спросил Радикс, указав Илье на эту четверку.

- Смекаю... - несмело откликнулся Илья, - то есть это та самая четверка, при которой моя скобка становится равной нулю? Так или нет?

- Именно! - отвечал ему его друг.

Смотри далее... Да смотри в оба! Полагаем твое q равным нулю... А теперь...

Тут Илюшина плоскость потихонечку повернулась и легла горизонтально, повиснув в воздухе примерно в сантиметрах шестидесяти от пола. Да так и застыла. Как только это произошло, из каждой точки креста, образованного осью иксов и новой прямой, которая пересекла ось иксов в точке, равной четырем, начали постепенно расти перпендикуляры к этой самой плоскости, которая и была плоскостью (х + iy), то есть плоскостью комплексных векторов (следи внимательней!).

И тут, опираясь на эти перпендикуляры и пересекая ось иксов (там, где игрек равен нулю), из концов этих перпендикуляров выросла парабола. Самая настоящая парабола с уравнением:

z = х² - 8х.

А уравнение сейчас же засветилось справа сбоку красным огнем, чтобы Илья не путался! Затем (смотри хорошенько!) и-* прямой в новой вертикальной плоскости (опять же перпендикулярной к висящей в воздухе плоскости комплексных векторов) возникла еще одна парабола с уравнением:

z = 4² - у² - 8•4 = - у² - 16.

- 421 -

Теперь перед Илюшей было уже две параболы. Мнимий подошел совсем близко к этой высоковолшебной модели и мягким прикосновением своих волшебных пальчиков жестко скрепил эти две параболы так, что они оказались соединенными и своих вершинах, а плоскости их оказались перпендикулярными одна к другой.

- Видишь?- спросил Радикс. - Теперь смотри, что у нас будет получаться далее, когда мы начнем увеличивать постоянный член, то есть это твое q. Следи внимательно за этой фигурой из двух соединенных парабол, не отрывая глаз.

Вся эта сложная параболическая механика начала двигаться и прошла вверх на шестнадцать делений. Как только она остановилась, тотчас же сбоку справа засветилось ее уравнение красным огнем:

z² = x² - 8x+ 16= {х - 4)².

А слева появилось еще одно уравнение (для другой параболы) - зеленое:

z = -у².