ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Теперь снова постараемся обратить коэффициент второго члена (при игреке в квадрате) в нуль, то есть положим, что

(3h + a) = 0; h = - a/3,

откуда

у³ + (-3a/3 + а) у² + (3a²/9 - 2a²/3 + b) у + h³ + ah² + bh + с = 0.

- 432 -

или, сделав приведение:

у³ + (-a²/3 + b) у + (2a³/27 - ab/3 + с) = 0.

Теперь для сокращения письма положим:

(-a²/3 + b) = p; (2a³/27 - ab/3 + с) ] = q

аb и запишем окончательно результат в таком виде:

y³ + py + q = 0.

(Если q = 0, то все просто: y₁ = 0, у_2,3 = ±√-p)

При q ф 0 результат, как ты видишь, разумеется, несколько менее утешителен, чем в случае квадратного уравнения, ибо у нас не два, а три члена. Но как-никак определенное упрощение достигнуто. Как же теперь быть далее? Ясно, что нужно придумать способ, который дал бы возможность обратить выражение ру в нуль, после чего мы и получим двучленное уравнение, то есть то же самое, что было получено для квадратного.

И вот как раз на этом месте болонцам пришла в голову счастливая мысль сделать еще одну подстановку: положить, что у в последнем уравнении можно представить в виде суммы:

у = u + v.

И опять-таки эти величины ими пока что совершенно произвольные. Мы только одно можем сказать, что сумма их есть корень нашего уравнения, который не равен нулю.

- А почему он не равен нулю?

- Сейчас рассмотрим! Попробуем подставить. Получаем:

(u + v)³ + р (u + v) + q = 0.

Смотрите-ка! Теперь видно, что сумма (u+v) не может быть равна нулю, потому что тогда и число q будет равно нулю, а число q, свободный член уравнения, не равно нулю. Теперь откроем скобки и кое-что сгруппируем:

(u³ + v³) + (u + v) (3uv + p) + q = 0.

Такая форма уравнения уже подает нам некоторые надежды!

- 433 -

Может быть, нам удастся уничтожить второй член? Положить, что u + v = 0, мы, как сказано, не можем, но зато спокойно можем допустить, что

3uv + р = 0;

uv = -p/3

но в таком случае наше уравнение превращается в такое:

u³ + v³ = - q.

Следовательно, мы получили два уравнения. Одно из них дает произведение новых чисел u и v, а другое их сумму. Правда, они в разных степенях, но никто не помешает возвести это произведение тоже в куб. Далее это создаст нам некоторые затруднения, но мы как-нибудь их одолеем. И вот перед нами два уравнения:

u³v³ = - p³/27; u³ + v³ = - q.

А теперь скажите, юноша, как бы вы дальше поступили с этими уравнениями? Отвечайте, куда они просятся?

- В квадратное уравнение! - вдруг выпалил почти в отчаянии Илюша. - Сумма и произведение даны, значит, это квадратное уравнение... по теореме Виеты.

- Очень хорошо! - отозвался Мнимий. - Так вот: теперь должно быть ясно, что болонцы действительно напали на очень счастливую мысль. Разумеется, им не удалось свести кубическое уравнение к линейному (то есть первой степени), как сводили квадратное, но ведь этого и ожидать было бы странно, ибо куб все-таки постарше квадрата и, конечно, поупрямей его! Но вы должны еще иметь в виду, что открытие этого решения кубического уравнения в Италии шестнадцатого века было поистине важным историческим событием! Оно означало, что новая Европа вышла на новый рубеж, она уже освоила наследие древних ученых и теперь сама делает недоступные для древности открытия. Общественные условия настолько изменились, что возникла возможность для новой науки. Разумеется, ученый работает прежде всего в интересах науки. Но он может работать для ее развития только тогда, когда общество, в котором он живет, поддерживает его, другими словами, когда люди верят в необходимость его трудов.

Мы уже говорили с вами, как бились древние греки с двоекубием, то есть задачей удвоить куб. И как мы увидим далее, задача трисекции угла тоже сводится к кубическому уравнению. Но так или иначе болонцы все-таки степень кубического уравнения на единицу понизили, а это облегчило задачу - квадратные уравнения мы решать умеем!

- Вавилоняне догадались, - заметил Радикс, - да и нас научили.

- 434 -

- И теперь уже мы можем составить окончательное уравнение, которое будет:

t² + qt - p³/27 = 0

Одно значение корня этого уравнения даст u³, а другое v³.

Решим это уравнение!

Илюша схватил мел и сразу написал:

- Вот-вот, - поддакнул Мнимий, - совершенно правильно.

На пятерку! Но теперь, поскольку мы знаем, что у - и + v, пишите уж и самое решение.

И наш герой написал следующее:

- Ну вот, - произнес Мнимий, - и появилась эта знаменитая формула Кардана для решения кубического уравнения.

- Так, - сказал Илюша, любуясь своим произведением, -< это я теперь как будто сообразил. Но при чем же тут мнимые человечки?

- А-а-а, - важно протянул Мнимий, - вот вас что интересует! Ну что же? Мы постараемся приподнять завесу этой трудной научной тайны.

- Жаль, что в науке есть еще тайны!