ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

- С какой-нибудь отдельной случайностью, разумеется, нам в математике делать нечего, но когда мы имеем дело с массовым явлением, целым комплексом случайных явлений, тогда уже совсем другое дело. Самый простой пример такой массы явлений - это ошибки измерения. Измерить какую-нибудь величину для астронома дело не простое, измерения производятся помногу раз и разными лицами. Ученые принимают все доступные меры, чтобы в их измерениях не было постоянно а ошибки, которая вызывается какой-либо определенной причиной, но со случайными ошибками управиться труднее. Однако и рассуждение и опыт говорят нам, что если для ошибок у нас нет никаких постоянно действующих в одном и том же направлении причин, то они будут беспорядочно изменять наши наблюдения то в одну сторону (скажем, в сторону "плюс"), то в другую (пусть это будет "минус"), и нет оснований для того, чтобы отклонения в одну сторону были систематически больше или встречались чаще, чем отклонения в другую. А если все это так, то разумно допустить, что наиболее близкая, по всей вероятности, к истинной искомая величина, которую мы измеряем, будет нами найдена в предположении, что наши случайные погрешности взаимно погашают друг друга. Если перевести все это рассуждение на математический язык, то мы получим в ответ от наших друзей, бесконечно малых, что при таких обстоятельствах и некоторых несложных допущениях искомая истинная величина совпадает со средней арифметической из целой массы наблюдений.

Этот пример, конечно, не более как пример; было бы очень странно, если бы, опираясь на это, мы измерили рост каждого бойца в целом пехотном полку и затем вздумали утверждать, что это неверно, будто в этом полку есть и. высокие и низкие солдаты, нет, дескать, там все одного роста, точь-в-точь такого, как наша вычисленная средняя! Нет, мы говорим в таком случае, что средняя есть просто некоторая сводная характеристика этого коллектива, и не более того. Впрочем, мы нередко можем охарактеризовать наш коллектив и гораздо более подробно, то есть указать (а иной раз даже и предсказать), насколько в общем будут отклоняться наши данные от средней или даже сколько и каких отклонений от средней там будет наблюдаться. Итак, если я имею дело с массовым явлением, я имею возможность вычислить результаты некоторых случайных явлений. Допустим, ты подбрасываешь монету.

- 466 -

У нее две стороны. Та, на которой отчеканен герб, обычно называют "орлом", а другую сторону - "решкой". Какова вероятность того, что монета упадет гербом вверх?

- Может быть и то и другое, - отвечал Илюша. - На ребро монета стать не может.

- Правильно. Вот математик и говорит, что поскольку это так, то вероятность выпадения "орла" или "решки" равносильна полной достоверности, то есть ничего другого выпасть не может. А что именно выпадет в данный момент, сказать трудно. Если бросать много раз, то они, в общем, должны выпасть в одинаковом количестве. Известный французский естествоиспытатель Бюффон в свое время проделал такой опыт: он бросил монету четыре тысячи сорок раз. "Орел" выпал две тысячи сорок восемь раз, а "решка" - тысяча девятьсот девяносто два раза. Полной точности в равенстве этих чисел, конечно, нельзя ожидать, ибо на белом свете не бывает математически точных монет, но в процентном отношении получилось довольно хорошо; пятьдесят и семь десятых процента и сорок девять и три десятых процента. Если принять полную достоверность за единицу, вероятность выпадения "орла" равна половине, "решки" - тоже половине. Понятно?

- Понятно.

- Представь себе теперь, что ты бросаешь две монетки.

Какова вероятность того, что у тебя выпадут два "орла"?

Попробуем усложнить нашу задачу.

- Половина, - отвечал Илюша. - Не все ли равно, сколько монеток?

- Вот то-то, что не все равно! - отвечал, усмехнувшись, Радикс.

- Давай-ка сосчитаем. У тебя две монетки - первая и вторая. Какие могут быть случаи? Во-первых, обе монетки выпадут "орлами", во-вторых - обе "решками", в-третьих - первая "орлом", а вторая "решкой"...

- Ах да! - воскликнул Илюша.

- В-четвертых - первая "решкой", вторая "орлом". Значит, всего может быть четыре комбинации, совершенно равноправные, а отсюда мы заключаем, что вероятность выпадения двух "орлов" при бросании двух монеток равна не половине, а только четверти. А зато вероятность выпадения и "орла" и "решки" сразу равна половине, ибо ты не нумеруешь монетки, а подсчитываешь просто общий результат. Чем больше брать монеток, тем расчеты эти делаются все сложнее и сложнее.

- 467 -

Если возьмем три монетки, то будут такие комбинации (я буду отмечать "орла" буквой "О", а "решку" буквой "Р"):

1)ООО; 5) ОРР;

2)OOP; 6) POP;

3)ОРО; 7) РРО;

4)РОО; 8) РРР.

Всего восемь комбинаций. Теперь вероятность выпадения трех "орлов" равна одной восьмой, двух "орлов" - трем восьмым, одного "орла" - тоже трем восьмым. Вероятность того, что ни одного "орла" не будет, равна снова одной восьмой. Числители этих дробей будут: 1-3-3-1, а знаменатель равен их сумме.