ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Такая система называется деревом. В ней ни одного пути, который можно было бы удалить без того, чтобы система не распалась. Ну, а теперь давай подумаем, нет ли чего-нибудь общего между двумя такими задачами: нарисовать уникурсальную фигуру одним росчерком и обойти лабиринт, у которого только один вход. Ты, я думаю, понимаешь, что любой лабиринт можно считать лабиринтом с одним входом, потому что всякий лабиринт мы всегда можем "обнести" еще одним "забором".

- Уж не знаю, - вымолвил не сразу Илюша. - Правда, быть может, если начертить план лабиринта не так, как мы его чертили до сих пор, а изображать линиями не стенки, а самые пути, как раз и получится такая фигура, которую нужно обойти или начертить...

- Постой, постой минуточку! - прервал Радикс его рассуждения. - А как ты полагаешь, нужно ли в таком случае вычерчивать точный план путей?

- Я должен быть точен в том смысле, чтобы на плане было то число перекрестков, какое есть на самом деле, и то же самое относительно путей между ними. А как именно я нарисую самые пути - это неважно, лишь бы не спутаться, куда какой из них ведет.

- Правильно, - резюмировал его собеседник. - Следовательно, вообще можно сказать, что ты интересуешься топологической схемой путей. Если ты представишь себе, что линии путей изображены нитками, которые связаны в узлах-перекрестках, то можешь как угодно деформировать, или видоизменять, "сетку путей" - топологическая схема останется неизменной.

- 64 -

Ты только не должен рвать нитки, развязывать узлы или завязывать новые. Ну, а как же все-таки начертить такую фигуру?

В фигуру вставлен еще один ромб.

А теперь ромб вставлен по-другому.

- А вот тут, - признался Илюша, - я затрудняюсь: ведь в лабиринте может быть сколько хочешь всяких тройных и вообще нечетных перекрестков, то есть узлов... Как же с этим быть?

- Вот то-то и дело! - отвечал Радикс. - Это значит, что далеко не все лабиринты можно обойти, если ты решишь идти по каждому коридору только один раз. Но ведь это совсем не обязательно...

- Ну конечно! - радостно воскликнул Илюша. - Это как с моим тупиком, то есть я должен пройти именно по два раза по каждому коридору. Значит, и на чертеже лучше всего изобразить каждый коридор двумя линиями. А после этого все нечетные узлы станут четными, потому что они удвоятся: тройной, например, станет шестерным и так далее. И весь план лабиринта превратится в фигуру, у которой есть только одни четные узлы. А такую фигуру, как мы уже доказали, можно нарисовать одним росчерком.

Стало быть, всякий лабиринт можно обойти, проходя два раза по каждому из его коридоров. Вот это действительно замечательное доказательство!

- Нет сомнений, что это действительно доказательство, по только это еще не решение задачи лабиринта. И вот почему. Когда ты чертишь фигуру, тебе необходимо видеть ее всю, а иначе нельзя установить, правильно ли ты идешь и сохраняешь ли все время ее связность.

- 65 -

В лабиринте совсем иное дело: там плана нет и ты не знаешь, каков он в целом, а значит, надо придумать такое правило для его обхода, которое дало бы возможность обойти любой лабиринт, не зная заранее, каковы его нескончаемые коридоры.

- Да, это правда, - согласился Илюша. - Только как?

- Ты что-то толковал насчет правила правой руки? - услышал он в ответ. - А теперь что ты о нем скажешь?

- Когда мне пришло в голову это правило, я думал о тупике, у которого имеются разветвления, а они, в свою очередь, тоже тупики. Если лабиринт построен по этому правилу, то я, конечно, обойдя два раза каждый коридор, обойду весь лабиринт, если нет петель. А если есть петли, то все, что приходится внутри петли, я могу пропустить.

- А что такое "петля", как ее можно обнаружить на схеме путей лабиринта, о которой мы только что говорили?

- Это на схеме будет замкнутый путь, кольцо, то есть круговой маршрут внутри лабиринта. Если я попал на такой маршрут, то могу вернуться к тому месту, где вступил на него с другой уже стороны, причем я приду туда по еще нехоженому пути. В тупиковом лабиринте таких замкнутых маршрутов нет.

- Правильно. Мы можем даже это свойство - отсутствие петель - принять за определение того, что такое тупиковый лабиринт. Теперь от простого случая попробуем перейти к более сложному. Скажи-ка, нельзя ли превратить какой-нибудь лабиринт с петлями в тупиковый и как это сделать?

- Если бы я был строителем этого лабиринта, то отметил бы все петли и перегородил их, чтобы нельзя было больше пройти по ним кругом.

- Превосходно. Ну вот и расскажи мне подробно, как бы ты на месте строителя лабиринта все это сделал.