Волшебный двурог

то у него должно быть три корня, например:

x₁ = а; х₂ = b; х₃ = с,

теперь можно составить такое уравнение:

(x — а) (х — b) (х — с) = x³ — х² (а + b + с) +

+ х (ab + ас + bc) — abc = 0,

откуда следует, что коэффициенты уравнения третьей степени связаны с корнями следующим образом:

А = — (а + b + с); В = ab + ас + bc; С = — abc.

Три вещественных корня.

— 331 —

Рассмотрим теперь, что обозначает геометрически утверждение о трех корнях. Если мы напишем

у = х³ + Ах² + Вх + С,

то будем иметь дело с кривой, которая сперва поднимается вверх, доходит до некоторого максимума, потом опускается, доходит до некоторого минимума, а затем снова начинает подниматься. Разумеется, все это может идти и обратным порядком (то есть сперва будет минимум, а потом максимум), в зависимости от знака перед х³ (все эти кривые называются кубическими параболами, параболами третьего порядка). Но если кривая имеет такую форму, то ясно, что она либо пересекает ось иксов трижды, и тогда все три корня кубического уравнения вещественны, либо пересекает ее только однажды, и тогда у него есть лишь один вещественный корень и два других — комплексные. Все рассуждения чрезвычайно упрощаются. Что же касается тех преимуществ, которые дает алгебра, то легко рассудить, что гораздо проще написать

х² = аb.

чем выполнить построением и записать такое утверждение:

«Квадрат, построенный на отрезке, длина которого равняется х, равновелик прямоугольнику, одна сторона которого равна а, а другая равна b». Тут надо вот еще что иметь в виду. Геометрия древних, как отчасти и геометрия вообще, отличается тем, что там нет общих способов и чуть ли не каждая задача решается по-своему. Греки проявили в таких решениях просто гениальное остроумие, но им не хватало того, что ныне мы называем общностью. Они сделали все, что было возможно при отсутствии общих методов, а далее вынуждены были остановиться. Труды Архимеда были замечательны еще тем, что он в связи с развитием в его время естественных наук (особенно астрономии) обратил внимание на измерение и вычисление, но и у него общие методы не выработаны, а только намечены. Труды средневековых алгебраистов и математиков эпохи Возрождения много сделали для объединения и систематизации математической работы. Декарту же вместе с Ферма посчастливилось, соединив воедино геометрию с алгеброй, дать

— 332 —

математикам в руки способ (метод) для рассмотрения и решения труднейших задач, где геометрия и алгебра помогают друг другу. Именно метод координат и аналитическая геометрия помогли решить одну замысловатую задачу, над которой математики бились с давних пор.

— А какая это задача? — спросил Илюша.

— Это была знаменитая задача о проведении касательной. А построить касательную к окружности нетрудно.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу.

— Конечно, — отвечал Илюша, — потому что эта касательная перпендикулярна к радиусу.

— Правильно. Ну, а как ты проведешь касательную к любой другой кривой? Ну, например, к той же параболе? Или к кривой обратных величин, то есть к гиперболе? У параболы, например, нет радиуса.

Илюша задумался.

— А что, если сделать так. Например, надо провести касательную к данной точке параболы. Я начерчу окружность, очень похожую на параболу на этом ее кусочке, вроде тех кругов, которыми Коникос мерил кривизну. А к окружности касательную провести ничего не стоит.

— Представь себе, что и мысль Декарта шла примерно таким же образом. Нужно тебе сказать, что и до Декарта мате—

Кривая сначала поднимается (ордината ее растет), и касательная образует с положительным направлением оси абсцисс острый угол α

Кривая затем опускаетсся (ордината ее убывает), и касательная образует с полжительным направлением оси абсцисс тупой угол β

— 333 —

матики проводили касательные к различным кривым, но только у них не было общего правила для этого. Перпендикуляр к касательной, как мы уже говорили в Схолии Четырнадцатой, называется нормалью кривой в данной точке. Так вот Декарт и нашел общее правило для построения нормалей. А отсюда уже не так-то трудно перейти и к самим касательным.

— Это интересно, — сказал Илюша. — Но разве это так важно — уметь провести касательную к любой кривой?

В точке, соответствующей х, кривая достигает максимума и касательная становится параллельной оси абсцисс.

Чем скорее растет ордината кривой, тем больше угол α и его тангенс.

— Сперва казалось, что это просто одна из трудных геометрических задач. Однако Декарт во второй книге своей «Геометрии» писал: