Волшебный двурог

подвигов и рассказывает, как однажды успешно обстрелял из пищали неприятельских солдат навесным огнем, добавляя при этом, что достиг успеха, исключительно будучи прекрасным практиком, потому что, уверяет он, «по науке» обстрелять противника на таком расстоянии было нельзя. Почему нельзя? Потому что тогда твердо верили, что, во-первых, пуля летит горизонтально, а во-вторых, что сила снаряда убывает по мере удаления от дула орудия. Поэтому, когда великий самоучка Тарталья, переводчик Евклида и Архимеда, составитель первой таблицы удельных весов, стал объяснять артиллеристам, какова траектория нули (он ее определял только приблизительно), то удивлению их не было границ. Простые и очевидные вещи проходили мимо внимания «книжников» и практиков, а всякие затейливые фантазии влекли их к себе. Тебе это понятно?

— Какие фантазии?

— Взять, например, хоть так называемые дружественные числа. Такими были, скажем, числа 220 и 284, так как каждое из них равняется сумме делителей другого. Действительно:

284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110;

220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142

Чтобы поболтать о том, что такое очень крепкая дружба и какие именно люди могут подружиться, эти числа просто незаменимы. Вот, например, какую я слышал на эту тему притчу.

Некий мудрец спрошен был, что есть дружба, и отвечал на это так: «Если бы взял я два целых числа, 284 и 220, то мне сказали бы, что они мало чем друг на друга похожи. А я бы на то ответствовал: так кажется тому, кто не хочет проникнуть вглубь своей мыслью. А мудрец через тайны счета познает, что если найти все делители, на которые делится одно из чисел без остатка, и тем путем узнать, на какие его части разъять можно, то, стожив затем все делители, я получу второе из названных чисел. А если тем же порядком разъять на части второе, то, сложив, получу первое. Вот что есть дружба! Она тогда крепка бывает, если качества одного друга в сердце другого по-иному соединяются». А вот и другая легенда о тех же числах. Жили-были два друга, и крепко они друг друга любили.

Вот одного из них и спросили: «Ценишь ли ты своего друга?» Тот отвечал на это: «Ценю, ибо знаю ему цену». — «Во что же ты его ценишь?» И на это спрошенный ответил так: «Если бы я собрал воедино все, на что я готов поделиться для друга моего, то это как раз и была бы цена другу моему, и тем бо-

— 389 —

лее она справедлива, что и он меня в ту же цену ценит». Имя первого друга есть число, которое мы можем изобразить так:

23 · 19 · 41,

а имя второго — это другое число:

25 · 199.

Вот какова вторая легенда. Получаются такие занимательные арифметические басенки о дружбе, но математическое содержание их ничтожно, а именно такими-то вещами и любили заниматься схоласты. Вот тебе еще две пары дружественных чисел:

I) 2620 и 2924;

II) 5020 и 5564.

— Это смешно, — ответил Илюша, — но разве такие сравнения или аналогии совсем уже никуда не годятся?

— Почему же! — отвечал Радикс. — Иные аналогии очень даже полезны, когда они что-нибудь объясняют нам. Один физик утверждал, например, что мир (то есть Вселенная) безграничен, но конечен. Чтобы не путаться, мы не станем обсуждать, прав он или нет, а разберем только одно остроумное сравнение, благодаря которому ему удалось сделать свою мысль понятной. Он начал с такого образа. Возьмем прозрачную сферу, положим ее на плоскость, которая простирается повсюду безгранично. Пусть сфера касается этой плоскости в точке S. Тогда в противоположной точке N я помещу светящуюся точку, источник света. Теперь, если я возьму маленький непрозрачный кружок и помещу его на поверхность сферы, то он будет отбрасывать, разумеется, тень на плоскость. Чем ближе я буду подвигать кружок к точке S, тем меньше будет становиться его тень. Чем ближе, наоборот, он будет подвигаться к точке N, тем быстрее и быстрее будет расти его тень на плоскости и при этом быстро удаляться от сферы, так что, когда кружок будет у самой точки N, тень уйдет в бесконечность и станет бесконечно большой. Далее: поверхность сферы ограничена, и на ней можно расположить только конечное число кружков. А если теперь изучать геометрию этих теней на плоскости, то нужно заключить, что по отношению к теням кружков эта бесконечная плоскость конечна, ибо этих теней на ней помещается ограниченное число, а именно ровно столько, сколько может поместиться кружков на сфере. Если мне возразят, что все это неверно, ибо тени по мере удаления от точки все растут и растут, тогда я предложу измерять тени при помощи тени какого-нибудь масштаба, который я буду пере-

— 390 —

-двигать опять-таки по сфере, а не по плоскости. В таком случае моему собеседнику придется согласиться со мной, что тени (этот род проекции известен был еще Клавдию Птолемею) ведут себя точь-в-точь как твердые кружки на поверхности шара. Мало этого, мы можем на основании этой модели утверждать, что легко представить себе мир, при этом трехмерный мир, построенный в этом роде, который будет безграничен, но конечен.

— Как же это так?