Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Сегодня фундаментальная теорема математического анализа, возможно, самое сильное и широко распространенное упрощение в математике. С ним интеграл – эта утонченная сумма бесконечного количества стремящихся к нулю частей – становится просто антипроизводной. Мы можем забыть замысловатые линии крыш Римана, искусные преобразования Лебега, геометрические маневры Евдокса и Лю Хуэя. Это просто обратная сторона производной. Мы словно много лет регулярно взламывали дверь, чтобы попасть в дом, и, наконец, узнали о существовании ключей.

Но не этим прославилась Аньези. «Для нее математический анализ был способом отточить разум так, чтобы он мог по достоинству оценить Господа, – пишет Маззотти. – Она верила в рассудочную духовность, а не в нелепую набожность или порожденное воображением суеверие». Через этот трезвомыслящий взгляд мы получаем лучшее представление о математическом анализе – дисциплине одновременно практической и по своей природе прекрасной.

В этом смысле нас всех можно отнести к итальянской молодежи.

XХ Что происходит под знаком интеграла, остается под знаком интеграла

Ричард Фейнман ненавидел уроки математики. Вся проблема была в том, что перед тем, как дать ученику решить задачу, учитель всегда представляет метод, которым ее следует решать. Где здесь приключение? Любой дерзкий проект становится вялым и безжизненным – государство тупиц, созданное тупицами и для тупиц.

С другой стороны, математический клуб он обожал. Это была игровая площадка, школа колдовства обманщиков и волшебства импровизации. Для решения задач требовалась только алгебра (никакого математического анализа), но для каждой был окольный путь. Если ученик пытался применить стандартный метод, ему не хватало времени. Вместо этого нужно было найти короткую дорогу, упрощающую решение. Например…

Конечно, вы можете продираться через арифметику. Но значительно быстрее изменить точку зрения и сделать течение реки системой координат. Стать шляпой.

Производные немного похожи на уроки математики у Фейнмана. В любом учебнике, стоящем той бумаги, на которой его напечатали, и даже в некоторых, которые и того не стоят, вы найдете четкий и определенный список формул дифференцирования. Применяйте эти законы, и вы не сможете ошибиться.

А что же насчет интегралов? По фундаментальной теореме математического анализа они являются антипроизводными, или производными наоборот. Производная х² равна 2х, интеграл 2х равен х². Но, как вы знаете, если когда-нибудь пытались провернуть обратно фарш, склеить разбитую вазу или – что в самом деле невозможно – отменить подписку на журнал, вряд ли это получится. Интегрирование, по тому же принципу, наполнено множеством интересных исключений. В матане его можно считать аналогом математического клуба Фейнмана.

«Не важно, насколько обширна таблица интегралов, довольно редко удается найти в ней тот самый интеграл, который нужен» – так говорится в необычайно самокритичных «Стандартных математических таблицах». Например, проверьте вот эти два: Не беспокойтесь о частных случаях, просто посмотрите: эти вопросы похожи, и, таким образом, ответы на них должны быть похожи. По крайней мере, ответы должны быть одного уровня сложности. Поэтому если первый из них arctg (x), то второй должен быть…

Хм…

Проверяю свои заметки…

Хорошо, проверяю интернет…

Ну ладно, я должен был догадаться…

Это

Надо же, как все обернулось!

Если дифференцирование – это правительственное здание с сияющими окнами и снабженными аккуратными табличками конференц-залами, то интегрирование – заколдованный дом с привидениями, полный странных зеркал, скрытых лестниц и неожиданных потайных ходов. Не существует никаких безошибочных правил, чтобы безопасно пройти через него, есть только беспорядочное собрание разнообразных инструментов.

Математик Огастес де Морган поэтично подвел итог подобным соображениям таким образом:

Общее интегрирование – только память о дифференцировании. Различные ухищрения, через которые проявляет себя интегрирование, – это не изменения неизвестного в известное, а переход от форм, в которых память не сможет служить нам, в те, с помощью которых она выполнит свою работу.

На первый взгляд новичку непонятно, что же делать с Но используйте замену переменной – обыденный метод интегрирования, – и эта досадная загадка станет достаточно безобидной которую можно найти в любой таблице общеизвестных интегралов. На самом деле ничего не изменилось, кроме используемого языка, имени переменной.

Решение в том, чтобы изменить систему координат. Стать шляпой.