Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Все это воплотилось в определенную форму в ноябре 1915 г. в уравнении поля Эйнштейна. «Это уравнение умещается на половине строки, – пишет физик Карло Ровелли. – Однако в этом уравнении – целая Вселенная»[48]. Оно предсказало, что свет изгибается около тяжелых предметов, что временной поток расширяется по пути из долины к вершине горы, что гравитационные волны могут распространяться через всю Вселенную, что большие звезды могут схлопываться, образуя сингулярности (которые позже получили название «черные дыры»). «Невероятное богатство теории раскрывается в фантасмагорической цепи предсказаний, которые напоминают исступленный бред безумца, – говорит Ровелли, – но все до единого подтвердились»[49].

Тем не менее, хотя новые предсказания вылетали из этого уравнения, как патронусы из волшебной палочки, Эйнштейн остался недовольным. Конечно, общая теория относительности могла описать орбитальное движение планет и изгибы потоков фотонов. Но все это были ограниченные, конечные системы. Всего лишь частицы космоса. «Остается животрепещущий вопрос, – писал Эйнштейн коллеге, – распространяется ли понятие относительности до самого конца или может привести к противоречиям». Теперь ученый стремился завоевать главный приз – получить самого большого плюшевого медведя на этом карнавале.

Может ли теория относительности создать модель всей Вселенной?

Это был вопрос в духе интегрирования, переход от «множества маленьких сущностей» к «единому большому всему». На самом деле здесь буквально использовалось интегрирование: хотя в своей знаменитой статье 1917 г. Эйнштейн применяет другой подход, к 1918 г. он обнаружил, что, по существу, берет интеграл. Он предпочел именно такую подачу информации. «У новой формулировки есть одно крупное преимущество, – писал ученый, – в том, что количество… появляется в фундаментальном уравнении как постоянная интегрирования».

Какое количество? Мы до этого еще доберемся. Во-первых, что такое постоянная интегрирования?

Если вы спросите любого студента, изучающего математический анализ, то это раздражающее + С в конце каждого неопределенного интеграла. Эта закорючка используется для удобства обозначений, она не имеет отношения к тому интегралу, который вы вычисляете, но по какому-то непонятному правилу вы никогда не должны о ней забывать во избежание мелочной бюрократии при начислении баллов со стороны преподавателя.

Откуда взялась эта постоянная? Как мы уже обсуждали, интегрирование и дифференцирование – обратные процессы. Чтобы взять интеграл, мы смотрим на функцию и спрашиваем: от чего эта производная?

Представьте себе бегуна, который двигается с постоянной скоростью 7 км/ч. График его скорости будет выглядеть подобным образом:

А что насчет интеграла – это будет график местоположения? Вот одна из возможностей:

Но это позволяет предположить, что в полдень бегун стартовал из дома. В действительности мы не знаем, где именно началась его пробежка. Возможно, в километре от дома, или в двух, или в семи. Или в трех с половиной, но в противоположной стороне от дома, так что мимо него наш любитель спорта пробежал в половине первого.

Существует бесконечное количество возможных функций положения, которые отличаются только тем, что какое-либо фиксированное расстояние добавляется или убирается. Это может быть 7х, 7х + 1, 7х + 2, 7х + 3…

Вместо того чтобы составлять список бесконечных возможностей, из-за которых мы можем опоздать на обед, мы объединяем все семейство функций под простой формулой 7х + С. С – это постоянная интегрирования, сокращение от «любое число, которое придет в голову». Одним махом она трансформирует один-единственный график в бесконечную семью. Из-за ее краткости и лаконичности эту постоянную так легко забыть, но именно «семья» является источником ее силы и глубины.

Нет, Альберт Эйнштейн не забыл о постоянной. Я имею в виду, конечно же, не забыл – мы ведь говорим об одном из величайших ученых, когда-либо отказывавшихся от расчески.

Нет, он допустил гораздо более продуманную ошибку. И она оказалась куда более зрелищной.

«Я должен провести читателя по тому пути, которым прошел сам, – пишет Эйнштейн в статье 1917 г., – по этой достаточно неровной и извилистой дороге». В самом деле, он проводит нас через что-то вроде лабиринта улиц, ведущих только в одном направлении, с препятствиями на каждом математическом повороте. Первая попытка ученого описать всю Вселенную противоречила известным фактам. Вторая потребовала определить особую «правильную» систему координат, что шло вразрез с духом «относительности». А третий путь, предложенный одним из его коллег, «не только не оставлял надежды решить задачу, но, напротив, означал отказ от нее». Его знаменитое уравнение просто не давало Эйнштейну достаточной гибкости.

В конце концов, ученый сумел создать свою модель, только введя постоянную интегрирования Λ. Это греческая буква лямбда; на самом деле Эйнштейн использовал строчную букву λ, что, возможно, указывает на то, что он не относился к ней с уважением. Как бы то ни было, лямбда – это космологическая постоянная.