Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Самостоятельно изучая интегрирование в дальнем углу кабинета физики в своей школе, Фейнман так и не научился некоторым стандартным методам. Вместо этого он собрал инструменты, позволяющие уйти с проторенной дорожки, – такие изящные, но малоизученные маневры, как «дифференцирование под знаком интеграла».

«Я использовал эту чертову штуку снова и снова», – писал Фейнман позднее, после получения Нобелевской премии по физике.

В Массачусетском технологическом институте и Принстоне однокашники Фейнмана обращались к нему с интегралами, которые они не могли взять. Фейнман решал их, часто прибегая к этому мощному трюку. «С интегралами я заработал себе великолепную репутацию, – писал он, – и все потому, что мой набор инструментов отличался от того, что было у всех остальных». С производными все танцуют один и тот же танец, но интегралы дают каждому проявить свой собственный стиль.

Во время Второй мировой войны Фейнман присоединился к группе ученых, работавших в Национальной лаборатории в Лос-Аламосе[47]. Он переходил из подразделения в подразделение, осваивал азы и везде чувствовал себя бесполезным. Однажды один из исследователей показал ему интеграл, который загнал всю команду в тупик на целых три месяца. «Но почему вы не решите его, использовав дифференцирование под знаком интеграла?» – спросил Фейнман. На всю задачу ушло полчаса.

Я сам никогда не изучал этот метод, поэтому обратился к Google. Мои изыскания привели к Math 55 в Гарварде – «возможно, самому сложному математическому курсу для студентов-бакалавров в стране», если верить «Википедии». Среди преподавателей курса есть лауреаты Филдсовской премии (например, Манджул Бхаргава), преподаватели Гарварда (например, Лиза Рэндалл) и Билл Гейтс (ну, то есть Билл Гейтс). «Это определенно своего рода культ, – сообщил студенческой газете Harvard Crimson Раймонд Пьерхамберт, когда-то изучавший курс, а теперь ставший преподавателем Оксфорда. – Я воспринимал его скорее как суровое испытание, а не уроки математики». Инна Захаревич, теперь преподаватель Корнеллского университета, сохранила более приятные воспоминания. «Там меня заставляли заниматься моим любимым видом размышлений, – говорит она. – Брать базовую вещь, которая, как я считаю, мне известна, и действительно очень, очень, очень серьезно над ней размышлять».

В 2002 г. 18-летняя Захаревич прочитала воспоминания Фейнмана. «Я не знала, что такое дифференцирование под знаком интеграла. Я спросила отца, и мы обсудили подход в целом». Затем в один прекрасный день в октябре преподаватель курса Math 55 Ноам Элкис показал студентам формулу:

В математике символ! не выражает энтузиазма. Он говорит об операции «факториал», которая означает «перемножьте все натуральные числа от 1 до этого числа».

Очень круто. Очень мило выглядит. Но это определение чрезвычайно ограниченно: оно имеет смысл только для целых чисел.

В начале XVIII в. Леонард Эйлер нашел новый способ определить факториал – тот самый интеграл, который Элкис показал студентам Math 55. Это обещало распространить понятие на все числа и позволить вам вычислить π! или 1,8732! или √^– 2! – в общем, все, что вашей душеньке угодно.

Есть только одна проблема: можем ли мы быть уверены, что новое определение полностью соответствует старому? Как мы узнаем, что они равны для таких чисел, как 3 и 11?

Захаревич смотрела, как Элкис развертывает стандартное доказательство равенства на примере: повторяющееся, утомительное применение интегрирования по частям. Это широко распространенный и в данном случае достаточно тяжеловесный метод. «Я была подавлена, – вспоминает Захаревич, – потому что доказательство было таким безобразным».

Она была ответственной ученицей и повторила все грубые алгебраические рассуждения на проведенной в тот же день контрольной. Но на обороте Инна написала альтернативное доказательство, применив любимый метод Фейнмана. «Я действительно хотела, чтобы Элкис знал это на будущее», – объяснила она. В доказательстве, которое я воспроизвожу ниже, скорее для красоты, чем с какой-либо еще целью, Захаревич вводит новый параметр, берет производную относительно него, а затем позволяет ей снова раствориться в тени. Эта производная – как совершенно незнакомый человек на дороге, который меняет вашу лысую покрышку, а затем уезжает, а вы так и не успели сказать ему спасибо.

Элкису это понравилось. Пылая учительской гордостью, он опубликовал доказательство в интернете, где спустя 16 лет на него наткнулся я.

«Применять это, – признает Захаревич, – действительно скорее искусство, чем наука».

Уверен, Фейнман одобрил бы подобное доказательство. Это полная дискредитация уроков математики и триумф математического клуба, более хитрого подхода, который определял все в жизни ученого. Возьмите его более позднюю работу в школьных советах. Как вспоминал биограф Джеймс Глик: