Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы

Например, самые разнообразные наблюдения (космические лучи, фон неба в гамма-лучах и т. д.) свидетельствуют о том, что в нашей вселенной антивещества очень мало. Теоретический анализ говорит, что довольно трудно представить себе вселенную, в которой вещество и антивещество присутствуют примерно в равном количестве и скопления галактик из вещества соседствуют с конгломератами звездных систем из антивещества. Таким образом, с физической точки зрения у нас есть жесткое ограничение на количество антивещества в нашем мире и на возможную структуру миров с близкими долями обычного вещества и его антипартнера. Однако нет жесткого запрета на существование вселенных с антивеществом с точки зрения математики.

Математика, т. е. решения уравнений физической теории, может в некотором смысле диктовать свойства объектов (или же утверждать, что наши уравнения недостаточно хороши для полного описания всех параметров). Здесь в качестве примера можно рассмотреть свойства черных дыр в общей теории относительности. Стандартным является утверждение о наличии сингулярности (в случае невращающейся черной дыры это точка в ее центре[55]). Этот вывод основан на решениях уравнений ОТО, т. е. на математической процедуре, а не на качественных (т. е. словесных) рассуждениях. В данном случае математика говорит нам, какими должны быть параметры объекта в рамках заданной модели. Мы понимаем, что в реальном мире это недостижимо: плотность не может достигать бесконечной величины. Но уравнения формально приводят к такому выводу. Значит, как минимум мы можем утверждать, что в недрах черной дыры формируется нечто очень плотное и компактное, и мы не можем это описать с помощью той физики, которую заложили. Иначе говоря, математика показывает нам ограниченность наших физических моделей.

Другой пример «математического диктата». Возьмем четырехмерное пространство и попробуем рассчитать в нем орбиты планет, обращающихся вокруг звезд. В таком пространстве закон всемирного тяготения изменится. Теперь в знаменателе будет стоять не квадрат расстояния, а третья степень – куб. Вообще, показатель степени у расстояния в законах всемирного тяготения и Кулона равен размерности пространства минус единица. Это объясняется тем, что такую зависимость от радиуса имеет площадь сферы: на данном расстоянии воздействие как бы «размазано» по поверхности сферы (можно представлять себе, как уменьшается световой поток на единичную площадь при удалении от источника). Так вот, окажется, что существование устойчивых орбит, например круговых, в четырехмерном пространстве невозможно. Такой вывод не является следствием неполноты теории – это очень общее свойство, связанное именно с геометрией. Гравитация в мире с еще одним измерением будет спадать слишком быстро при росте расстояния между тяготеющими телами, и такое поведение не позволит получить стабильные орбиты. Значит, мы имеем дело именно со свойством решений уравнений. Таким образом, в данном случае математика жестко ограничивает фантазии теоретиков.

От замысла до воплощения научная идея проходит ряд «агрегатных состояний». Часто это начинается со смутных идей, непродуманных гипотез. У нас есть пока лишь что-то эфемерное, «газообразное». Постепенно в процессе продумывания оно начинает сгущаться, и в какой-то момент происходит фазовый переход – «газ» превращается в «жидкость». В этот момент идея хорошо вербализована, ее можно начать обсуждать, но это еще не научная теория. Нужен еще один переход – «кристаллизация». Только теперь у нас есть математические формулировки. Мы получили уравнения, которые можно решать, а результаты сравнивать с наблюдениями и делать количественные предсказания.

Хочется сказать, что остановка на первом («газообразном») уровне соответствует поэтическому способу познания реальности, второй («жидкий») уровень – философии, а третий – науке. При этом именно последнему свойственны наиболее заметные ограничения. Газ и жидкость могут заполнить любой сосуд. Они аморфны – готовы принять форму тела, в котором находятся, особенно газ. А вот снежинки, несмотря на все свое многообразие, имеют вполне определенные симметрии[56].