Вселенная в зеркале заднего вида

Волшебство принципа Гамильтона состоит в том, что если удастся вычислить лагранжиан для какой-то системы — например, для движения ракеты, — можно просто применить подход Эйлера и Лагранжа для минимизации действия, а потом получить траекторию ракеты. Иначе говоря, если знаешь, каково взаимодействие энергий в системе, а следовательно, и лагранжиан, значит, ты знаешь абсолютно все необходимое, чтобы предсказать эволюцию системы в будущем.

А в результате принцип Гамильтона позволяет перекинуть мостик от принципа минимизации к «выведению» законов Ньютона. Именно для этого он, в сущности, и придуман. Казалось бы, зачем идти таким извилистым путем, чтобы прийти к результату, который мы и так уже знаем? Я постоянно проделывал это во время занятий механиков на младших курсах, даже не понимая, почему мы делаем именно так, а не иначе.

Лагранжиан ракеты

Этому, разумеется, есть технические причины. Принцип Гамильтона позволяет решать сложные задачи со строгими ограничениями, что было бы невозможно, если бы ими попытался заниматься непосредственно Ньютон, однако для нас у этого принципа есть и другое, более важное достоинство. И к нему вели все наши разговоры начиная с принципа Ферма.

Если есть симметрия, инвариантом остается именно лагранжиан, то есть, в сущности, все участвующие во взаимодействии виды энергии.

Вернемся к Нётер и к тому, что на самом деле означает ее теорема

На страницах этой книги я уже перечислил очень много симметрий, но ни разу не говорил о том, что же на самом деле должно быть инвариантом. Что же это такое, что не меняется, если смотреть в зеркало, переводить часы вселенной, обращать время вспять или взять и повернуть всю конструкцию?

Эмми Нётер докопалась до глубинной истины. Она поняла, что инвариант — это именно лагранжиан.

Нётер обнаружила, что одни манипуляции меняют энергию, а другие — нет. Например, если пропорционально увеличить всю вселенную, расстояние между двумя телами увеличится, а это снизит гравитационную энергию. Однако для особых видов симметрии вроде поворота, которые не изменяют энергию, а следовательно, и лагранжиан, как раз и вступает в силу соотношение, которое открыла Нётер: симметрия влечет за собой какую-то сохраняющуюся величину[58].

Например, законы физики сегодня в точности такие же, как вчера, а поэтому, согласно теореме Нётер, во вселенной сохраняется энергия.

Мы уже убедились, что энергия способна менять форму. В пище, которую мы едим, запасена химическая энергия, которую мы обращаем в тепло (мы же, как-никак, теплокровные) и движение. Однако если сложить все возможные составляющие энергии во вселенной — энергию массы E = mc ², движение всех частиц и гравитационные и электрические взаимодействия между этими частицами — получится огромное число, а теорема Нётер как раз и говорит нам, что это число до конца времен останется точно таким же, как и сегодня.

Идею сохранения энергии придумала не Нётер. Эта идея заложена в первом законе термодинамики. Зато Нётер показала, что первый закон — всего лишь следствие из неизменности законов физики.

Подобным же образом, раз законы физики одинаковы и прямо здесь, и в трех метрах отсюда, теорема Нётер учит нас, что импульс сохраняется. Сохранение линейного импульса тоже не новость. Его открыл в XVII веке Исаак Ньютон, и все три его знаменитых закона — разные способы описать сохранение импульса в замкнутой системе.

Однако вот в чем загвоздка. Мы уже видели, что время и пространство тесно взаимосвязаны. Теория относительности покажет, что одно можно заменять другим. Как мы увидим, это означает, что импульс и энергия — две стороны одной медали.

В теореме Нётер скрыто гораздо больше. Она описывает и объясняет сохранение спина, электрического заряда, «цвета» (эквивалент заряда в сильном ядерном взаимодействии) и т. д. и тому подобное — и в конечном итоге закладывает математическую основу практически подо всю стандартную модель физики частиц.

Если учесть все это, становится непонятно, каким образом Нётер оказалась в значительной степени забытой. Мне думается, отчасти это объясняется тем, что при помощи теоремы Нётер можно проделать лишь совсем немного вычислений. Установишь, что налицо сохранение энергии, заряда и еще с полдюжины других величин — и все. Больше никаких полезных вычислений и не требуется, и не получается. Некоторые сохраняемые величины вообще можно выбить из формул при помощи грубой силы, только кому это нужно?!

Мы видели, что биография Нётер во многом пересекается с биографией Эйнштейна. Но есть между ними и другие, более мрачные параллели. Нётер, как и Эйнштейн, в 1933 году бежала в США. Эйнштейн осел в Принстоне, в незадолго до того созданном Институте передовых исследований. Нётер оказалась в расположенном неподалеку колледже Брин Мор. А затем — всего через два года после переезда в Америку — у Эмми Нётер обнаружили рак, а после операции она умерла от какой-то загадочной инфекции. Эмми было всего 53 года. Вот как писал о ней Эйнштейн: