Вселенная в зеркале заднего вида

Принцип Ферма дает нам другой подход, который не требует рассуждений о том, что происходит в каждый отдельно взятый миг как с лучом света, так и с солдатами, представьте себе, что на берегу сидит мускулистый красавец — прямо как Дэвид Хассельхофф в «Спасателях Малибу». Он видит пловца, который борется с волнами. Какой маршрут ему выбрать? Опять же по берегу он может бежать гораздо быстрее, чем в воде. Значит, ему нужно покрыть как можно больше горизонтального расстояния по берегу, а потом поплыть перпендикулярно кромке воды, чтобы добраться до утопающего как можно скорее.

Но вот что поразительно: стоит пробиться через математические выкладки, и выяснится, что у Гюйгенса и у Ферма получаются одинаковые пути. Вычисления Гюйгенса ничего не говорят о глобальных свойствах системы. Каждый солдат изо всех сил старается шагать по прямой, но сопротивление воды искривляет картину переднего ряда.

Эмпирические отношения, описывающие преломление света на стыке двух сред, известны уже довольно давно. Это называется закон Снеллиуса, и открыл его[52] в 1621 году голландский математик с потрясающим именем Виллеброрд Снеллиус.

Закон Снеллиуса — это простое соотношение между углом, под которым свет попадает на поверхность, где ему предстоит преломиться, относительной скоростью света в разных средах и углом, под которым свет выйдет с другой стороны. С практической точки зрения, если вы хотите делать линзы или любую другую оптику, больше вам ничего знать и не требуется. Вся эта интерференция волн и минимизация пути света даже и не нужны!

Чем же так полезен подход Ферма при всей своей извилистости? В лучшем случае просто получишь тот же результат, что и при применении принципа Гюйгенса. Дело в том, что принцип Ферма придуман не для того, чтобы получить правильный ответ: он призван объяснить, что происходит на самом деле.

Принцип Ферма оказался на удивление полезен для современных открытий. Один из поразительных прогнозов, которые дала общая теория относительности, — время возле массивного тела, например, звезды или черной дыры, течет медленнее, чем вдали от него. Поскольку свет по-прежнему хочет пробежать по самому быстрому маршруту, он отклонится от прямой линии, чтобы объехать вызванные гравитацией пробки поблизости от черной дыры. Проще говоря, тот самый принцип, который предсказывает поведение призм, предсказывает и то, что массивные тела искривляют свет.

Часто бывает, что самый короткий путь — не прямой. Вот, например, вам нужно добраться из Филадельфии в Пекин. Какой маршрут выбрать? Если вам случалось летать трансокеанским рейсом и, чтобы не свихнуться от скуки, наблюдать за перемещением самолета по компьютерной карте, возможно, вы заметили, что самолет летит не по той линии, которая вам по наивности представлялась прямой. Пекин с Филадельфией находятся примерно на одной широте — около 40 градусов. И все же путь, по которому полетит ваш самолет, пройдет севернее Аляски.

Этот путь по большой дуге проделывает именно то, что предлагает Ферма. Это тот маршрут между Филадельфией и Пекином, который минимизирует дистанцию. Примерно то же самое у вас получится, если вы возьмете глобус, воткнете булавки в точки старта и финиша и туго-туго натянете между ними резинку. На карте большая дуга выглядит странно, однако это самый естественный маршрут в мире. Если вы полетите по прямой и нанесете свой маршрут на карту, как в кино про Индиану Джонса, путь по большой дуге получится сам собой.

Однако Ферма, как вы вскоре убедитесь, не просто подсказывает ближайший путь до Пекина — он еще и закладывает фундамент для формулирования всех физических законов, основанных на симметрии, а это возвращает нас прямиком к Эмми Нётер.

Как построить лучшие в мире американские горки

Принцип Ферма очень хорош и правилен, если нас интересует исключительно распространение света, но если мы пытаемся разобраться в устройстве мироздания, придется копнуть поглубже. Принцип Ферма не объясняет создание частиц и античастиц, существование сил, полей, расширение вселенной и примерно миллион прочих явлений, наблюдаемых во вселенной, где мы живем.

У физиков и математиков — а в XVII веке разница между ними совсем не была колоссальной — подобные задачи на минимизацию нашли выражение в попытках найти новые интересные способы приложения только что открытых законов Ньютона. Одна из самых известных задач того времени — поиск кривой под названием «брахистохрона»[53].

Представьте себе, что вы хотите построить самые-самые распрекрасные американские горки — ну чтобы уж точно все ахнули. Вы можете предельно минимизировать силу трения, но при попытках построить идеальную форму непременно наткнетесь на маленькую математическую тайну. Проектировать американские горки надо так, чтобы вагонетка, стартующая из состояния покоя в точке А, как можно быстрее очутилась внизу, в точке В.