Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей

Кривизна – это набор «всех» таких расхождений, подходящим образом организованный по направлениям в пространстве-времени. Чтобы перечислить «все» расхождения указанного вида, надо перечислить все базовые способы направить геодезические и провести стрелку, которая их соединяет. Это удобнее сделать, решая эквивалентную, но чуть другую задачу о параллельном переносе двумя способами – задачу по постройке забора. В облюбованном уголке пространства-времени выберем каким-нибудь способом координатные линии; на рис. 6.32 показаны два семейства координатных линий. Вообще-то четырехмерное пространство-время полагается «расчертить» четырьмя такими семействами, но нам сейчас нужны именно два – любая пара из имеющихся четырех. Предпримем очень короткое путешествие: пройдем немного вдоль одной из координатных линий (назовем ее x), свернем на другую (скажем, y) и, пройдя по ней немного, отправимся назад по соседней линии x и, наконец, вернемся в исходную точку по линии y. Путешествие мысленное, и требуется оно только для того, чтобы обозначить «участок» в форме параллелограмма. Этот участок теперь и предлагается обнести забором из досок. Первую доску поставим в исходно выбранной точке и направим ее, скажем, вдоль координатной линии z (на рисунке не показана). Хороший забор – такой, который не «заваливается», а это означает, что следующую доску надо поставить параллельно первой, еще следующую – тоже параллельно и т. д. В дело оказывается вовлечен параллельный перенос! Для ускорения строительства работу поручают двум бригадам: каждая «привязывается» к самой первой доске, а затем первая продвигается сначала вдоль координатной линии x, а потом по координатной линии y, а вторая бригада идет сначала вдоль y, а потом вдоль x. В искривленном пространстве-времени забор «не сойдется»: первая и вторая бригады не согласятся по поводу того, как должна стоять финальная доска в месте их встречи. Это несогласие и определяется кривизной. Как всегда, стороны «участка» считаются малыми в математически точно определенном смысле. Полученная кривизна тогда относится к точке, откуда мы начали построение. (Чтобы узнать кривизну в какой-то другой точке, надо повторить все действия начиная оттуда.)

Чтобы выразить кривизну, надо сказать, как именно следует повернуть доску, которую ставит вторая бригада, чтобы она совпала с доской, которую ставит первая. Сказать это нужно, конечно, не для одного конкретного забора, который мы велели строить, направив самую первую доску вдоль линии z, а для любого забора – такого, первая доска которого смотрит в любом направлении. Базовых направлений четыре, по числу измерений пространства-времени[123]. А сам участок, обносимый забором, можно построить не только на малых смещениях по x и y, но и на малых смещениях вдоль любой пары направлений. Итак: два направления задают участок, а третье определяет ориентацию первой доски. Каждое направление – это одна из осей (x, y, z, t). Все эти возможности организуются в таблицу 4 × 4 × 4; в ней определенно встречаются случаи, когда площадки на самом деле нет (в качестве первого направления выбран, скажем, x, но в качестве второго – тоже x), но нам удобно в таких случаях не беспокоиться отдельно, а заменять все данные нулями. В остальных случаях, когда с площадкой все в порядке, мы вносим в таблицу данные, определяющие «доводку» финальной доски второй бригады, – и это еще четыре числа[124]. Так и получается, что данные, описывающие кривизну, размещены в таблице формата 4 × 4 × 4 × 4. Часть ячеек в ней заведомо содержит нули, содержимое части ячеек выражается через содержимое других, но все равно штука впечатляющая. Такую таблицу кривизны следует построить в каждой точке пространства-времени. Если пространство-время плоское, то все заборы всегда сходятся и в таблице одни нули. Наличие же кривизны означает, что есть несходящиеся заборы. У нас большие планы на кривизну на следующей прогулке.

Признания и литературные комментарии

«Развертки», которые в пространстве-времени представляют любое движение тел в пространстве, называются мировыми линиями. Геодезические «для тел» называются времениподобными (световые геодезические по этой причине иногда называются светоподобными; для них распространилась и калька с английского «нулевые», что примерно означает, что у них нет собственного времени). «Лепесток-намотка» для орбит в сильной гравитации – мой вольный («смысловой») перевод английского zoom-whirl; БУКО – тоже мое изобретение, стандартная аббревиатура – ISCO. Орбиты, «сматывающиеся и наматывающиеся» на неустойчивую круговую орбиту, называются гомоклинными. Количество вращения, как уже было сказано, официально называется моментом импульса или моментом количества движения. Невращающаяся черная дыра называется черной дырой Шварцшильда (я так и буду называть ее в дальнейшем), вращающаяся – черной дырой Керра. «Таблица кривизны» формата 4 × 4 × 4 × 4 – это тензор кривизны, или тензор Римана.