Введение в логику и научный метод

§ 2. Математика, или исчисление, вероятности

Современное изучение вероятности началось, когда шевалье де-Мере, известный картежник XVII века, поинтересовался у своего друга, праведного Паскаля, как лучше делать ставки при игре в кости. С тех пор основное количество дискуссий относительно вероятности посвящено вопросам, на которые можно дать ответ в нумерической форме: какова вероятность выпадения решки три раза из четырех бросков? Какова вероятность выпадения на костях семерки при одном броске? Такого рода проблемы, равно как и более сложные, исследовались математиками. На сегодняшний день практически в каждой области физики и в некоторых областях химии и биологии требуется использование исчисления вероятности. Мы же подробно исследуем более простые вопросы вероятности и поговорим о том, чем ограничивается математический подход.

Начнем с ограничений. Математика – это дисциплина, изучающая необходимые следствия из любого множества допущений. При таком понимании математика не имеет дела с истинностью или ложностью тех оснований, следствия которых она изучает. В этом отношении логика и математика неразличимы.

Из сказанного следует, что ни одна чисто математическая теория не может определить степень вероятности истинности любого суждения, которое связано с конкретными положениями дел. Она может определить вероятность истинности суждения, когда в явной форме предложены определенные допущения относительно этого суждения. Математика может показать нам, каковы необходимые следствия этих допущений, но она не может определить истинность или ложность самих этих допущений. Следовательно, теория вероятности может быть чисто математической, только если она ограничивается вопросами необходимого вывода. Это имеет место, если рассматривать теорию вероятности как часть чистой математики. Мы коротко рассмотрим элементарные теоремы этой теории потому, что такой подход уже стал традиционным, а также потому, что в использовании теорем исчисления вероятности проявляется природа научного метода.

Начнем с очень простой задачи. Что понимается под «математической вероятностью» выпадения орла при бросании монеты? Воспользуемся общепринятой терминологией. Вместо того чтобы говорить о вероятности истинности суждения «эта монета упадет орлом вверх», мы будем говорить о вероятности события выпадения орла. «Орлом» и «решкой» называются возможные события, или возможные альтернативы. Если мы заинтересованы в выпадении орла, то орел считается благоприятным событием, все остальные события – неблагоприятные. Математическая вероятность определяется в таком случае как отношение, в котором числителем является количество возможных благоприятных событий, а знаменателем – общее количество возможных событий (т. е. сумма благоприятных и неблагоприятных событий), с учетом того что все возможные события равновероятны. Таким образом, если монета имеет 2 стороны и может упасть только на них, демонстрируя тем самым орла или решку, и если выпадение сторон равновероятно, то вероятность выпадения орла будет ½ Вообще если f – число благоприятных событий, а u – число неблагоприятных событий, и если события являются равновероятными, то вероятность благоприятного события определяется как f / ( f + u ). Очевидно, что такая дробь всегда будет правильной и что ее значением будут величины от 0 до 1 включительно.

Вероятность, равная О, означает, что событие невозможно; вероятность, равная 1, означает, что оно произойдет с необходимостью.