Закат Европы

Теперь только глубоким мыслителям должно было стать ясным, что Эвклидова геометрия, единственная и правильная для наивного взгляда всех времен, при рассмотрении с этой высшей точки зрения оказывается не более чем гипотезой, исключительная значимость которой по отношению к другим, притом совершенно лишенным наглядности видам геометрии никогда не может быть доказана, как это мы точно знаем со времени Гаусса, не говоря уже о пресловутом «согласии» с действительностью – этой догме профанов, опровергаемой каждым взглядом вдаль, где сходятся все параллели. Ядро этой геометрии – аксиома о параллельных Эвклида – оказывается утверждением, которое может быть заменено другими, именно что через точку к прямой можно провести две, много или ни одной параллельной; эти утверждения приводят к совершенно непротиворечивым трехмерным геометрическим системам, которые могут применяться в физике и особенно в астрономии и иногда даже предпочитаются Эвклидовым.

Уже простое требование неограниченности протяженного – которую со времени Римана и его теории неограниченных, но в силу их кривизны не бесконечных пространств можно отличить от бесконечности – противоречит собственному характеру всякой непосредственной наглядности, которая зависит от отражений света, то есть от материальных границ. Возможны, однако, такие абстрактные принципы полагания границы, которые в совершенно новом смысле преодолевают возможности оптической ограниченности. Для проницательного взора уже в картезианской геометрии лежит тенденция выхода за пределы трех измерений непосредственно переживаемогопространства как границ, вовсе не необходимых для символики чисел. И если начиная только с 1800 года представление многомерного пространства – было бы лучше заменить это слово «новым» – стало более широким основоположением для аналитического мышления, то первый шаг в этом направлении был сделан уже в тот момент, когда степени, вернее, логарифмы, освобожденные от их изначальных отношений к чувственно реализируемым плоскостям и телам – посредством применения иррациональных и комплексных показателей, – были введены в область функционального как объекты отношений совершенно общего характера. Тот, кто вообще может здесь ориентироваться, поймет, что переходом от а3 как естественного максимума к аn уже снимается безусловность пространства трех измерений.

После того как пространственный элемент точки потерял уже оптический характер отрезка координат в наглядно-представляемой системе и стал определяться как группа трех независимых чисел, – не могло быть больше препятствий к тому, чтобы заменить число 3 числом n. Произошло изменение самого понятия измерения: оно теперь уже не число меры, не оптические свойства точки в отношении к ее положению в системе, но неограниченное число измерений представляет здесь совершенно абстрактные свойства некоторой числовой группы. Эта числовая группа – из n независимых упорядоченных элементов – является картиной точки; она называется одной точкой. Логически отсюда развитое уравнение называется плоскостью, является картиной плоскости. Совокупность всех точек n измерений называется n-мерным пространством, В этом трансцендентном пространственном мире, который не стоит уже ни в каком отношении к чувственности, царят открываемые анализом отношения, которые находятся в полном согласии с результатами экспериментальной физики. Эта пространственность высшего порядка есть символ, который сполна оказывается достоянием западноевропейского духа. Только этот дух в этих формах должен был заклинать ставшее и протяженное посредством этого рода усвоения – вспомним о «табу», – заклинать чуждое, принуждать, следовательно, пытаться «познать» и понять. Только в этой сфере числового мышления, которая доступна всегда очень небольшому кругу людей – но то же самое можно сказать и по отношению к наиболее глубоким моментам нашей музыки, нашей живописи, нашей догматики, – получают характер чего-то действительного и такие образования, как система гиперкомплексных чисел (квартернионы векториального счисления), и, наконец, такой, совершенно непонятный знак, как n. Следует ясно понять, что действительность не есть только чувственная действительность, что скорее душевное может сделать свои идеи действительными посредством образований, совершенно других, чем наглядные.

18.