Закат Европы

Конструкция – которая в широком смысле включает все методы элементарной арифметики – есть альфа и омега античной математики: она состоит в создании единичного, стоящего перед нашими глазами объекта. Циркуль – вот резец этого второго изобразительного искусства. Способ работы при исследованиях в области теории функций, цель которого не результат в виде определенной величины, а рассмотрение всех формальных возможностей, может быть характеризован как род теории композиции, близко напоминающий музыкальную. Целый ряд понятий теории музыки мог бы быть непосредственно применен к аналитическим операциям физики – «тональность», «фразировка», «хроматика» и пр., – и очень возможно, что некоторые зависимости выиграли бы при этом в ясности.

Всякая конструкция утверждает наглядную очевидность, всякая операция ее исключает, причем одна создает оптически данное, другая его разлагает. Так появляется дальнейшее противоположение обоих видов математической деятельности: античная математика «малого» рассматривает конкретный, единичный случай, вычисляет определенное задание, единичную конструкцию. Математика бесконечного занимается целыми классами формальных возможностей, группами функций, операций, уравнений, кривых, имея в виду не какой-нибудь результат (в арифметическом смысле), а свой собственный ход исследования. Два столетия тому назад – и современными математиками это едва сознается – возникла идея всеобщей морфологии математических операций, которая раскрывает действительный смысл всей новой математики. Здесь обнаруживается всеобъемлющая тенденция западноевропейского духа вообще, которая в дальнейшем будет становиться все яснее, тенденция, которая оказывается исключительно достоянием фаустовского духа и его культуры и ни в какой другой не находит ничего родственного. Огромное большинство вопросов, которыми занимается наша математика как наиболее ей близкими (у древних этому отвечает квадратура круга), например исследование признаков сходимости бесконечных рядов (Коши) или обращение эллиптического, или общеалгебраического, интеграла в периодические функции (Абель, Гaycc), показалось бы, вероятно, «древним», которые искали в качестве результата обыкновенные определенные величины, какой-то остроумной, несколько запутанной игрой, как это кажется и в наше время распространенному мнению широких кругов. Нет ничего менее популярного, как современная математика, и в этом также есть доля символики бесконечной дали, дистанции. Все великие творения Запада, от Данте до «Парсифаля», – непопулярны; все античные, от Гомера до Пергамского алтаря, – популярны в высшей степени.

15.

Итак, все содержание западноевропейского мышления числа сосредоточивается в классической проблеме, дающей ключ к тому труднодоступному понятию бесконечного – фаустовского бесконечного, – которое очень далеко от бесконечного арабского и индийского миросозерцания. Дело идет о теории пределов, как бы более узко ни рассматривать число в отдельном случае, как бесконечный ряд, кривую или функцию. Этот предел есть самая резкая противоположность античного предела, до сих пор так не называвшегося, который представляет собою неизменно ограниченную плоскость измеримой величины. Вплоть до XVIII столетия популярные эвклидовские предрассудки затемняли смысл принципа дифференциала. Как бы осторожно ни применять здесь почти напрашивающееся понятие бесконечно малого, ему все же будет присущ легкий оттенок античной неизменности, подобие величины; такое понятие мог бы признать Эвклид, хотя он и не знал его совершенно. Нуль есть константа, целое число в линейном континууме между +1 и – 1; аналитическим исследованиям Эйлера сильно повредило, что он – как и многие вслед за ним – принимал дифференциал за нуль. Только выясненное окончательно Коши понятие предела устраняет этот остаток античного чувства числа и делает учение о бесконечно малых свободной от противоречия системой. Только переход от «бесконечно малой величины» к «нижнему пределу всякой возможной конечной величины» ведет к концепции такого переменного числа, которое всегда остается меньше всякой отличной от нуля конечной величины и таким образом не имеет больше ни малейшей черты величины. В этом окончательном понимании предел вообще уже не есть то, к чему приближаются. Он сам представляет собою приближение – процесс, операцию. Он не состояние, а действие. Здесь, в проблеме, имеющей решающее значение для западноевропейской математики, внезапно раскрывается, что наша душевность организована исторично6.

16.