Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Народный способ легко выводит из этого затруднения. Надо — гласит правило — в случае нечетного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца; сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочки указывают, что данную строку надо зачеркнуть):

19 х 17

9 х 34

4 х 68*

2 х 136*

1 х 272

Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:

17 + 34 + 272 = 323.

На чем основан этот прием?

Обоснованность приема станет ясна, если принять во внимание, что

19 х 17 = (18 + 1) х 17 = 18 х 17 + 17,

9 х 34 = (8 + 1) х 34 = 8 х 34 + 34 и т. д.

Ясно, что числа 17, 34 и т. п., утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение.

ИЗ СТРАНЫ ПИРАМИД

Весьма вероятно, что описанный способ дошел до нас из глубочайшей древности и из отдаленной страны — из Египта. Мы мало знаем, как производили арифметические действия обитатели древней Страны пирамид. Но сохранился любопытный документ — папирус, на котором записаны арифметические упражнения ученика одной из землемерных школ древнего Египта. — это так называемый "папирус Ринда", относящийся ко времени между 2000 и 1700 годом до нашей эры[16] и представляющий собой копию еще более древней рукописи, переписанную неким Аамесом. Писец[17] Аамес, найдя "ученическую тетрадку" этой отдаленнейшей эпохи, тщательно переписал все арифметические упражнения будущего землемера — вместе с их ошибками и исправлениями учителя — и дал своему списку торжественное заглавие, которое дошло до нас в следующем неполном виде:

"Наставление, как достигнуть знания всех темных вещей… всех тайн, сокрытых в вещах.

Составлено при царе Верхнего и Нижнего Египта Ра-а-усе, дающем жизнь, по образцу древних сочинений времен царя Ра-ен-мата писцом Аамесом".

Египетское изображение писца. Писцы в древнем Египте принадлежали к третьему классу жрецов; они заведовали землями и строительной частью храма. Обучение писца наукам, требующимся для этой должности, продолжалось 12 лет.

Египетские цифры иератического письма из папируса Ринда.

В этом интересном документе, насчитывающем за собой около сорока веков и свидетельствующем о еще более глубокой древности, мы находим четыре примера умножения, выполненные по способу, живо напоминающему наш русский народный способ. Вот эти примеры (точки впереди чисел обозначают число единиц множителя; знаком + мы отметили числа, подлежащие сложению):

Вы видите из этих примеров, что еще за тысячелетия до нас египтяне пользовались приемом умножения, довольно сходным с нашим крестьянским, и что неведомыми путями он как бы перекочевал из древней Страны пирамид в современную эпоху. Если бы обитателю земли фараонов предложили перемножить, например, 19 х 17, он произвел бы это действие следующим образом: написал бы ряд последовательных удвоений числа 17

1 17 +

2 34 +

4 68

8 136

16 272 +

и затем сложил бы те числа, которые отмечены здесь знаком то-есть 17 + 34 + 272. Он получил бы, конечно, вполне правильный результат: 17 + (2 х 17) + (16 х 17) = 19 х 17. Легко видеть, что подобный прием по существу весьма близок к нашему крестьянскому (замена умножения рядом последовательных удвоений).

Трудно сказать, у одних ли наших крестьян был в ходу такой древний способ умножения; английские авторы называют его именно "русским крестьянским способом"; в Германии крестьяне кое-где хотя и пользуются им, но также называют его "русским".

Чрезвычайно интересно было бы получить от читателей сведения о том, применяется ли сейчас где-нибудь этот древний способ умножения, имеющий за собой такое долгое и оригинальное прошлое. Следовало бы вообще с большим вниманием относиться к народной математике: вникать в употребляемые народом приемы счета и измерений, собирать и записывать эти памятники народного математического творчества, дошедшие до нашего времени из глубин седой старины.