Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

На это давно указывал историк математики В. В. Бобынин[18], предложивший даже краткую программу собирания памятников народной математики. Не лишним будет, пожалуй, привести здесь составленный им перечень того, что именно следует собирать и записывать:

1) счисление и счет, 2) приемы меры и веса, 3) геометрические сведения и их выражение в постройках, нарядах и украшениях, 4) способы межевания, 5) народные задачи, 6) пословицы, загадки и вообще произведения народной словесности, имеющие отношение к математическим знаниям, 7) памятники древней народной математики, находящиеся в рукописях, музеях, коллекциях и т. д. или находимые при раскопках курганов, могил, городищ и проч.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КУРЬЕЗЫ

91 + (5823/647) = 100;

94 + (1578/263) = 100;

96 + (1428/357) = 100

Глава 4 НЕДЕСЯТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Эту главу позволю себе начать с задачи, которую я придумал когда-то для читателей старого распространенного журнала[19] в качестве "задачи на премию".

Вот она:

"Загадочная автобиография

В бумагах одного чудака-математика найдена была его автобиография. Она начиналась следующими строками:

"Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте — всего 11 лет — способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 руб., из которых ¹/₁₀ приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц" и т. д.

Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка?"

Решение задачи подсказывается названием этой главы: недесятичная система счисления — вот единственная причина кажущейся противоречивости приведенных чисел. Напав на эту мысль, нетрудно догадаться, в какой именно системе счисления изображены числа чудаком-математиком. Секрет выдается фразой: "спустя год (после 44 лет), 100-летним молодым человеком…" Если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, то, значит, цифра 4 — наибольшая в этой системе (как 9 — в десятичной), а следовательно, основанием системы является 5. Чудаку-математику пришла фантазия написать все числа своей биографии по пятеричной системе счисления, то-есть по такой, в которой единица высшего разряда не в 10, а в 5 раз больше единицы низшего; на первом справа месте стоят в ней простые единицы (не свыше четырех), на втором — не десятки, а пятерки; на третьем — не сотни, а "двадцатипятерки" и т. д. Поэтому число, изображенное в тексте записки "44", означает не 4 х 10 + 4, как в десятичной системе, а 4 х 5 + 4, то-есть 24.

Точно так же число "100" в автобиографии означает одну единицу третьего разряда в пятеричной системе, то-есть 25. Остальные числа записки соответственно означают:

Восстановив истинный смысл чисел записки, мы видим, что в ней никаких противоречий нет:

Я окончил курс университета 24 лет от роду. Спустя год, 25-летним молодым человеком, я женился на 19-летней девушке. Незначительная разница в возрасте — всего 6 лет — способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 5 детей. Жалованья я получал в месяц 50 руб., из которых ¹/₅ приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 40 руб. в месяц.

Трудно ли изображать числа в других системах счисления? Нисколько. Положим, вы желаете число 119 изобразить в пятеричной системе. Делите 119 на 5, чтобы узнать, сколько в нем единиц первого разряда:

119:5 = 23, остаток 4.

Значит, число простых единиц будет 4. Далее, 23 пятерки не могут стоять все во втором разряде, так как высшая цифра в пятеричной системе — 4, и больше 4 единиц ни в одном разряде быть не должно. Делим поэтому 23 на 5:

23:5 = 4, остаток 3.

Это показывает, что во втором разряде (пятерок) будет цифра 3, а в третьем ("двадцатипятерок") — 4.

Итак, 119 = 4 х 25 + 3 х 5 + 4, или в пятеричной системе "434".

Сделанные действия для удобства располагают так: