Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Не видя числа, трудно, конечно, угадать, какое оно — четное или нечетное. Но не думайте, что вы всегда сможете сказать это, едва увидите задаваемое число. Скажите, например, четное или нечетное число 16?

Если вам известно, что оно написано по десятичной системе, то вы вправе утверждать, что число это — четное. Но когда оно написано по какой-либо другой системе — можно ли быть уверенным, что оно изображает непременно четное число?

Оказывается, нет. Если основание, например, семь, то "16" означает 7 + 6 = 13, число нечетное. То же будет и для всякого нечетного основания (потому что всякое нечетное число + 6 есть тоже нечетное число).

Отсюда вывод, что знакомый нам признак делимости на 2 (последняя цифра четная) безусловно пригоден только для десятичной системы счисления, для других же — не всегда. А именно, он верен только для системы счисления с четным основанием: шестеричной, восьмеричной и т. п. Каков же признак делимости на 2 для систем с нечетным основанием? Достаточно краткого размышления, чтобы установить его: сумма цифр должна быть четной. Например, число "136" четное во всякой системе счисления, даже с нечетным основанием; действительно, в последнем случае имеем: нечетное число[22] + нечетное число + четное = четному числу.

С такою же осторожностью надо отнестись к задаче: всегда ли число 25 делится на 5? В семеричной или восьмеричной системе число, так изображенное, не делится на 5 (потому что оно равно 19 или 21). Точно так же общеизвестный признак делимости на 9 (по сумме цифр) правилен только для десятичной системы. Напротив, в пятеричной системе тот же признак применим для делимости на 4, а, например, в семеричной — на 6. Так, число "323" в пятеричной системе делится на 4, потому что 3 + 2 + 3 = 8, а число "51" в семеричной — на 6 (легко убедиться, переведя числа в десятичную систему: получим соответственно 88 и 36). Почему это так, читатель сам сможет сообразить, если вникнет хорошенько в вывод признака делимости на 9 и приложит те же рассуждения, соответственно измененные, например, к семеричной системе для вывода признака делимости на 6.

Труднее доказать чисто арифметическим путем справедливость следующих положении:

Знакомые с алгеброй легко найдут основание, объясняющее свойство этих равенств. Остальные читатели могут испытать их для разных систем счисления.

Поучительные задачи

1. Когда 2 х 2 = 100?

2. Когда 2 х 2 = 11?

3. Когда 10 — число нечетное?

4. Когда 2 х 3 = 11?

5. Когда 3 х 3 = 14?

Ответы на эти вопросы не должны затруднить читателя, познакомившегося с настоящей главой "Занимательной арифметики".

ДРОБИ БЕЗ ЗНАМЕНАТЕЛЯ

Мы привыкли к тому, что без знаменателя пишутся лишь дроби десятичные. Поэтому с первого взгляда кажется, что написать прямо без знаменателя дробь ²/₇ или ¹/₃ нельзя. Дело представится нам, однако, иначе, если вспомним, что дроби без знаменателя возможны и в других системах счисления. Что, например, означает дробь "0,4" в пятеричной системе? Конечно, ⁴/₅ . Дробь "1,2" в семеричной системе означает 1²/₇. А что означает в той же семеричной системе дробь "0,33"? Здесь результат сложнее:

³/₇ + ³/₄₉ = ²⁴/₄₉.

Рассмотрим еще несколько недесятичных дробей без знаменателя. Чему равны

a) "2,121" в троичной системе?

b) "1,011" в двоичной системе?

c) "3,431" в пятеричной системе?

d) "2,(5)" в семеричной системе?

Ответы:

a) 2 + ¹/₃ + ²/₃ + ¹/2₇ = 2¹⁵/27.

b) 1 + ¹/4 + ¹/₈ = 1³/₈.

с) 3 + ⁴/₅ + ³/₂₅ + ¹/₁₂₅ = 3¹¹⁶/₁₂₅.

d) 2 + ⁵/₇ + ⁵/₄₉ + ⁵/₃₄₃ + … = 2⁵/₆.

В правильности последнего равенства читатель легко может убедиться, если попробует применить к данному случаю, с соответствующим видоизменением, рассуждения, относящиеся к превращению десятичных периодических дробей в простые.

В заключение рассмотрим несколько задач особого рода:

Задача № 1

По какой системе счисления выполнено следующее сложение:

Задача № 2

По какой системе счисления выполнено деление:

Задача № 3

Напишите число 130 во всех системах счисления: от двоичной до девятеричной включительно.

Задача № 4

Чему равно число "123", если считать его написанным во всех системах счисления, до девятеричной включительно? Возможно ли, что оно написано по двоичной системе? А по троичной? Если оно написано по пятеричной системе, то можете ли вы узнать, не переписывая его по десятичной системе, делится ли оно без остатка на 2? Если написано по семеричной системе, то делится ли оно без остатка на 6? Если написано по десятичной системе, то делится ли оно без остатка на 4?

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КУРЬЕЗ

2⁵ ∙ 9² = 2592