Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Курсивные цифры (при письме можно их подчеркивать) выписывают справа налево и сразу получают искомое изображение числа в иной системе.

Приведем еще примеры.

Числовая система ацтеков Мексики была двадцатеричной. Количества до 20 они изображали числом точек или пальцев; для 20 рисовался флаг; число 400 (20 х 20) имело значок, похожий на ель, который значил — "многочисленный, как волосы". Для самой большой единицы счета — 8000 (20 х 20 х 20) — изображался мешок: он символизировал огромное количество бобов какао в мешке. Чтобы изобразить некоторое количество предметов, ацтеки прямо пририсовывали к изображению этого предмета нужные числовые значки: таким образом, А означает 9 масок из драгоценного камня; Б — 100 мешков какао; В — 402 бумажных одеяла указанного рисунка; Г — 8000 связок листьев копаловой камеди.

Пример 1.

Изобразить 47 в троичной системе:

Решение:

Ответ: "1202". Проверка: 1 х 27 + 2 х 9 + 0 х 3 + 2 = 47.

Пример 2.

Число 200 изобразить в семеричной системе.

Решение:

Ответ: "404". Проверка: 4 х 49 + 0 х 7 + 4 = 200.

Пример 3.

Число 163 изобразить в двенадцатеричной системе.

Решение:

Ответ: "117". Проверка: 1 х 144 + 1 х 12 + 7 = 163

Теперь читатель не затруднится изобразить любое число в какой угодно системе счисления. Единственная помеха может возникнуть лишь вследствие того, что в некоторых случаях не будет доставать обозначений для цифр. В самом деле: при изображении числа в системах с основанием более десяти (например, двенадцатеричной), может явиться надобность в цифрах "десять" и "одиннадцать". Из этого затруднения нетрудно выйти, избрав для новых цифр какие-нибудь условные знаки или буквы — хотя бы, например, буквы К и Л.

Так, число 1579 в двенадцатеричной системе изобразится следующим образом:

Ответ: "(10)(11)7", или KЛ7. Проверка: 10 х 144 + 11 х 12 + 7 = 1579.

Выразите:

1) Число 1926 в двенадцатеричной системе.

2) Число 273 в двадцатеричной системе.

ПРОСТЕЙШАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Нетрудно сообразить, что в каждой системе высшая цифра, какая может понадобиться, равна основанию этой системы без единицы. Например, в десятичной системе высшая цифра 9, в шестеричной — 5, в троичной — 2, в пятнадцатеричной — 14 и т. д.

Клинописные цифры вавилонской шестидесятеричной системы. Для записи целых чисел вавилоняне пользовались всего двумя знаками — 1 и 10; 60 изображалось знаком единицы, но с большим интервалом от следующих цифр.

Самая простая система счисления, конечно, та, для которой требуется меньше всего цифр. В десятичной системе нужны десять цифр (считая и 0), в пятеричной— пять цифр, в троичной — три цифры (1, 2 и 0), в двоичной— только две цифры (1 и 0).

Существует ли и "единичная" система? Конечно, — это система, в которой единицы высшего разряда в один раз больше единицы низшего, то-есть равны ей; другими словами, "единичной" можно назвать такую систему, в которой единицы всех разрядов имеют одинаковое значение. Это самая примитивная "система"; ею пользовался первобытный человек, делая на дереве зарубки по числу сосчитываемых предметов. Но между нею и всеми другими системами счета есть громадная разница: она лишена главного преимущества нашей нумерации — так называемого поместного значения цифр. Действительно: в "единичной" системе знак, стоящий на третьем или пятом месте, имеет то же значение, что и стоящий на первом месте. Между тем даже в двоичной системе единица на третьем месте (справа) уже в 4 раза (2 х 2) больше, чем на первом, а на пятом — в 16 раз больше (2 х 2 х 2 х 2). Для изображения какого-нибудь числа по "единичной" системе нужно ровно столько же знаков, сколько было сосчитано предметов: чтобы записать сто предметов, нужно сто знаков, в двоичной же — только семь ("1100100"), а в пятеричной — всего три ("400").