Занимательная теория вероятности

Заслуга этого открытия принадлежит Якову Бернулли (1654–1705). Он был замечательным исследователем. Конечно, и Галилей, и Паскаль, и другие мыслители, которые вводили вероятность как дробь, равную отношению благоприятных случаев к общему числу возможных вариантов, превосходно понимали, что на опыте предсказания комбинаторных подсчетов осуществляются приблизительно. Им было ясно, что число бросков, при которых монета ляжет гербом кверху, не равно в точности, а лишь близко к половине от общего числа бросков, а число бросков кубика, приводящих к шестерке сверху, не равно в точности, а лишь близко к ¹/₆ от общего числа бросков. Но насколько близко, сказать они не могли. На этот вопрос ответ дал Яков Бернулли. Открытый им закон, который мы называем «законом больших чисел», лежит в основе статистической физики; без этого закона не могут обойтись статистики ни одной области знания.

Сущность этого закона весьма проста.

Положим, «честная» монета бросалась тысячу раз, потом еще тысячу раз, потом еще… И так много раз. Разумеется, герб редко появится ровно 500 раз. Будут серии, где отношение числа появляющихся гербов к 1000 будет совсем близко к ¹/₂, и такие серии, где отклонение будет довольно значительным. Каким закономерностям подчиняется это отклонение от теоретической вероятности? И — самое главное — как будет меняться отклонение от вычисленной вероятности с увеличением числа бросков?

Яков Бернулли строго доказал, что разности отношения удачных бросков к общему числу бросков и теоретического числа вероятности (в нашем примере — отклонения от ¹/₂) уменьшаются с возрастанием числа бросков, и эти отклонения могут быть сделаны меньше любого малого, наперед заданного числа.

Отношение числа удачных бросков к общему числу бросков называют «частотой». Закон больших чисел можно сформулировать и так: по мере увеличения числа опытов «частота» события сближается со значением вероятности.

Отклонения «частоты» от вероятности при большом числе бросков, измеряемом тысячами, становятся совсем незначительными. О результатах своих немудреных опытов по бросанию монеты поведали миру математики XVIII века. В одном таком опыте герб выпал 2028 раз при общем числе бросков 4000; когда число бросков достигло 12 000, то оказалось, что герб появился 6019 раз; наконец, при числе бросков 24 000 герб выпал 12 012. Частоты при этом изменялись так: 0,507; 0,5016 и 0,5005.

Однако надо ясно представлять себе, что это сближение «частоты» с вероятностью есть лишь общая тенденция. Может случиться, что отклонения от вероятности для меньшего числа опытов окажутся такими же или даже меньшими, как и отклонения при большом числе опытов. Вообще же эти отклонения от предельных законов вероятности носят также статистический характер.

Часть вторая Дела житейские

Вероятность, которой можно и должно пренебречь

Любители парадоксов часто пытаются убедить читателя в противоречиях, которые якобы часто встречаются в проблемах вероятности.

Парадоксы возникают обычно в том случае, если игрой слов пытаются подменить практическую постановку вопроса. Вот пример.

Капитан пожарной команды собирается провести учения. Разумеется, тревога должна быть неожиданной, и он решает выбрать день учений броском игральной кости: единица — понедельник, двойка — вторник… шестерка — суббота (воскресенье у пожарной команды выходной). Казалось бы, все ясно, и день тревоги будет выбран в соответствии с законами случая. Однако предположим, что проходит понедельник, вторник… наконец, пятница, а тревоги нет. Значит, наверняка она будет в субботу. А такого положения допустить нельзя, ведь случайность изгнана. Значит, выбор дней тревоги с элементом случая надо ограничить пятницей. Но, владея сим методом рассуждения и не дождавшись тревоги в четверг, пожарники будут твердо знать, что ее объявят в пятницу. И тогда дни учений надо ограничить четвергом. Но, не дождавшись тревоги в среду, пожарники будут твердо знать, что произойдет в четверг. Также отпадает и среда, и вторник…

Рассуждение это бессмысленно и вовсе не потому, что в понятии вероятности есть противоречия, а потому, что полностью лишена содержания сама постановка вопроса. Ясно, что в понедельник утром пожарники могут ожидать проверки в любой из 6 дней, а во вторник в любой из 5, а в среду в любой из 4 и так далее. Парадокс, как всегда, результат игры слов и отрыва слов от действий.