Западная философия от истоков до наших дней. Т. 4. От романтизма до наших дней

Однако стараниями Эвариста Галуа (Е. Galois, 1811—1832) (гениального математика, убитого в двадцать один год на дуэли при странных обстоятельствах), блистательно решавшего алгебраические Уравнения, Джорджа Пикока (G. Peacock, 1791—1858), Уильяма Гамильтона (W. R. Hamilton, 1805—1865), Артура Кэли (A. Cayley, 1821—1895), Германа Грассмана (H. Grassman, 1807—1877), Джорджа Буля (G. Boole, 1815—1864) была создана абстрактная алгебра. Традиционная логика терминов (в частности, силлогистическая) преобразована в алгебру уравнений. Переосмыслив «универсалии» Лейбница, Буль создал «алгебру логики», получившую дальнейшую разработку в трудах Джевонса (VV. S. Jevons), Шрёдера и Пирса (см. главу «Прагматизм»). Так логика стала символической логикой в качестве раздела математики.

Фреге, поставивший вопрос о строжайшем контроле над математическими доказательствами, видел в математике не просто основание различных частных теорий, но также инструмент построения строго научного здания математики. Что значит «строго научное», Фреге в «Основаниях арифметики» пояснил так: «Можно сослаться на мнение Евклида, считавшего, что нельзя претендовать на то, чтобы все было доказано, ибо это невозможно. Однако можно требовать, чтобы все недоказанные положения были четко объявлены как недоказанные, чтобы не было сомнений, на чем основана вся конструкция. Необходимо, кроме того, пытаться сделать минимальным число исходных законов, делающих доказательным то, что можно доказать. Идя дальше Евклида, я требую, чтобы все применяемые дедуктивные процедуры были предварительно объяснены. В противном случае первое требование нельзя удовлетворить надлежащим образом... Аргументация моей концепции имеет характер исчисления в том смысле, что общий алгоритм, т. е. комплекс правил, определяет переход от одного положения к другому так, что ни один из членов, не обоснованных ими, не принимается. Я намерен реализовать дедукцию, свободную от нестрогих моментов, с максимальной логической точностью, более того, ясную и краткую». Логицистская программа Фреге будет продолжена Расселом и Уайтхедом. Но следует отметить, что первоначальная классическая аксиоматизация арифметики была предложена Джузеппе Пеано (1852— 1932) и Дедекиндом, понимавшими логику как мощный инструмент построения строго математического знания.

3. ФИЛОСОФСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

Открытие неевклидовой геометрии Лобачевским (1826) внесло коренные изменения в представления о природе пространства. Важными событиями отмечено развитие геометрии на рубеже XIX— XX веков. Начиная с шестидесятых годов прошлого столетия, открытия в области геометрии становятся общематематическим достоянием. Это хорошо видно из известной «эрлангенской» программы, предложенной Феликсом Клейном (1849—1925) в 1872 г., согласно которой разделы геометрии (метрической, проективной) иерархично соподчинены по степени обобщения. Не имея возможности подробно останавливаться и даже частично осветить множество важнейших проблем развития математики и геометрии этого периода трансформации, отметим все же некоторые моменты философского плана. Созерцание было элиминировано из новых геометрических теорий: аксиомы перестали быть «очевидными истинами». Их заменили простые и чистые «начала», конвенционально выбранные как исходные моменты. Если аксиомы считаются верными, будут истинны и теоремы, корректно выведенные из них, что гарантирует истинность системы в целом.

Возникает вопрос: если аксиомы суть чистые постулаты в качестве исходных моментов рассуждения, то что и как страхует систему в целом? Дедуцируя теоремы одну из другой, можем ли мы быть уверены в том, что, споткнувшись об одно противоречие, система не опрокинется вместе со всем, что в ней построено? Вопрос далеко не праздный, ведь неевклидова геометрия основывается на тезисе, что истинность теории — в ее непротиворечивости. Это исходное положение «формалистической» программы Давида Гильберта (1862—1943), потерпевшей, как известно, крушение. Неудача постигла и теорию множеств Кантора из-за внутренних антиномий.

С открытием неевклидовых геометрий идея несомненных и самоочевидных истин (аксиом) была отвергнута. В зависимости от начальных принципов доказательств и их характера, проведено разделение геометрии на математическую и физическую. Первая исходит из предпосылки, что отношениями с объектами внешнего мира можно пренебречь. Вторая становится разделом физики и пытается особым образом рационализировать пространственный опыт. Так проблема истинности геометрических положений срастается с проблемой математической истины, которая сводится к набору логических следствий из аксиом, понятых как «конвенции», соглашения.