Западная философия от истоков до наших дней. Т. 4. От романтизма до наших дней

Программа концептуальной ригоризации основных математических понятий, как мы уже знаем, наметилась еще в прошлом веке. Вейерштрасс и его школа подготовили так называемую «арифметизацию» анализа, т. е. редукцию математики как теории «действительных чисел» к арифметическим понятиям математики как теории целых позитивных (натуральных и рациональных) чисел. Еще раньше геометрия была приведена к анализу (посредством операций аналитической геометрии), а арифметика стала «естественной базой» всего здания математики. Редукцию математики к арифметике завершил Пеано в 1899 г. Система Пеано состояла из пяти аксиом, составленных с помощью примитивных терминов: число, ноль, непосредственно выводимый.

Аксиомы таковы: 1) ноль — это число; 2) из числа непосредственно следует число; 3) ноль непосредственно не следует ни из какого числа; 4) из различных чисел следуют разные непосредственно выводимые числа; 5) любое свойство, которым обладает ноль, принадлежит всем числам, если из его справедливости для одного числа следует справедливость этого свойства для числа, непосредственно следующего за ним (это принцип математической индукции).

Одновременно с Пеано Фреге и Кантор попытались редуцировать арифметику и понятие натурального числа к логическому понятию класса, тем более что логика классов кажется более адекватной для поиска оснований математики. Как можно дать определение числа в терминах класса, показывает следующий пример. Даны два класса А и В, и каждому элементу класса А соответствует элемент класса В, и наоборот. Это значит, что оба класса имеют равную мощность, или кардинальное число. Используя чисто механические операции, мы устанавливаем бинарные соответствия элементов двух классов, и даже не умея считать, можем узнать, имеют ли классы одно и то же количество элементов.

На этом основании можно повторить вслед за Б. Расселом, что «математически число есть не что иное, как совокупность равно-мощных классов» («Принципы математики», 1903). Кантор установил иерархию бесконечных множеств, открыв, среди прочего, что множество натуральных чисел имеет ту же мощность, что и множество рациональных чисел. Вопреки интуиции оказалось, что между 0 и 1 есть бесконечно много действительных чисел, и это множество по мощности больше множеств натуральных чисел.

Значит, математика и логика тождественны, вся чистая математика переводима в логические термины бесконечно малых. Грандиозную реконструкцию математики на основании логики провели Б. Рассел и А. Уайтхед в трехтомной работе «Principia mathematica» (1910—1913). Однако арифметическое обоснование Фреге оказалось внутренне противоречивым. Рассел стремился реализовать намерение Фреге сконструировать всю математику на основе логики. Однако в 1901 и 1902 гг. Рассел спровоцировал кризис в логике классов и тем самым нанес удар по основным положениям арифметики, которые Фреге осуществил именно с помощью логики классов. Это произошло вследствие обнаружения антиномии, показавшей, как определенное утверждение, правомерное с точки зрения арифметики у Фреге, является тем не менее противоречивым. Вот в общих чертах антиномия Рассела.

Положим, что множество, не содержащее себя как элемент, есть нормальное множество (все вместе книги на столе не есть книга). Даже если все обычные множества нормальны, нельзя исключить, что существует множество ненормальное. Например, множество всех множеств — тоже множество, хотя и ненормальное. Образуем множество из всех нормальных множеств (М) и спросим: нормально ли оно? Предположим, что М содержит само себя как элемент. Значит, оно нормально, и как нормальное множество не может быть частью себя самого. Тогда предположим, что М не содержит само себя. Тогда оно по определению нормально, но вместе со всеми нормальными множествами это множество должно включать в себя М как элемент. Значит, М должно иметь в качестве элемента себя само. И в одном и в другом случае — противоречие.

Рассел придумал юмористический пересказ этого парадокса: «Деревенский брадобрей бреет всех, кто не бреется сам». Известен античный вариант этой антиномии: «Критянин Эпименид говорит, что все критяне — лжецы». Рассел послал письмо Фреге, где изложил суть антиномии. Фреге попытался найти выход из положения, однако безуспешно. Так, утратив веру в ценность проделанной работы, он провел последние годы жизни.

Рассел, со своей стороны, полагал, что языковая небрежность является истинной причиной возникновения антиномий. Будучи платоником, он верил в существование особого мира математических сущностей. В приложении к «Principia mathematica» он изложил теорию типов с предписаниями лингвистического характера для избежания апорий.