Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

С таким же психологическим барьером было связано создание Гамильтоном кватернионов. Гамильтон искал аналог комплексных чисел, интерпретируемый в трехмерном пространстве (обычные комплексные числа изображаются точками на плоскости). Он искал такие числа в течение пятнадцати лет, но безрезультатно. Это стало для него некой навязчивой идеей (говорят, что его домашние каждое утро спрашивали его за завтраком: «Ну как, нашел ты свои кватернионы?»). И вот, 16 октября 1843 года во время прогулки Гамильтона озарила неожиданная идея: все трудности возникали из-за того, что в течение всех этих поисков он постоянно предполагал, что операция умножения новых чисел должна подчиняться закону коммутативности, то есть, что для них, как и для обычных комплексных (и, конечно, действительных) чисел справедливо утверждение: от перестановки сомножителей произведение не меняется. А кто сказал, что этот закон универсален, обязателен для всех типов чисел? Когда требование коммутативности умножения было снято, работы осталось на несколько минут. Собственно, основные расчеты, связанные с построением системы кватернионов, были сделаны тут же, в уме (Гамильтон написал основную формулу на граните моста, по которому в тот момент проходил с женой). Сконструировав кватернионы, Гамильтон смотрел на них с тем же удивлением, с каким Лобачевский смотрел на свою геометрию: ведь все известные вычислительные процессы коммутативны, чему же «подражают» эти странные числа? Их поведение, вероятно, выглядело тогда просто мистическим.

Сейчас, по прошествии почти полутора сотен лет, чувства Лобачевского и Гамильтона могут показаться наивными. Но нельзя упускать из вида, что с тех пор произошло коренное изменение во взгляде на роль и место математики в системе человеческого знания. В наши дни математика обязана не только строить формализованные модели каких-то явлений, уже известных физике, биологии или другим областям знания, но и заготавливать формальные структуры впрок, для возможного использования в будущем. Теперь математик зачастую совершенно не интересуется, соответствует ли его конструкция чему-то уже познанному в окружающем мире. Им движет в основном стремление усовершенствовать математику не как аппарат для описания чего-то, а как аппарат вообще. Он ищет возможности Для выявления новых связей между отраслями математики, для укорочения уже существующих связей, для упрощения теорий, для придания им компактности и ясности

Он справедливо полагает, что если математические конструкции, им созданные, станут более изящными и более простыми (не теряя при этом богатства своих свойств), то их рано или поздно можно будет использовать с большей эффективностью в конкретных науках, найдя для них подходящее истолкование в терминах этих наук. Но сам математик лишь в редких случаях обращается к такому истолкованию, поскольку на современном уровне развития знания сложилось разумное разделение труда, и ученый, занимающийся теоретической математикой, обычно «освобожден» от проблем приложений. История науки свидетельствует, что хорошие математические конструкции рано или поздно находят приложения. Неэвклидова геометрия, например, была использована как модель искривленного пространства-времени, и это сыграло важную роль в создании общей теории относительности. Поразительно, насколько «окупаемыми» оказываются те или иные абстрактные математические работы, насколько точно попадают в цель математические стрелы, пущенные, вроде бы, наугад. Одна из важных причин такого положения состоит в том, что ныне никто не требует непосредственной, «конкретной», наглядной интерпретации математических теорий.

Но в те годы, когда жил Буль, дела обстояли еще по-старому. Считалось, что математическая теория должна отражать что-то, так сказать, прямым образом. Мало того. По традиции, идущей от создателей дифференциального и интегрального исчисления, требовалось, чтобы этим отражаемым был физический мир, точнее, мир явлений, изучаемых физикой. А система Буля относилась совсем к другому миру — к языково-мыслительным процессам.

С математической точки зрения достижение Буля представляло собой такую же крупную и революционную вещь, как и изобретения Лобачевского и Гамильтона. Он создал новый вид алгебры, и этим внес значительный вклад в ту переоценку места математики, о которой было сказано выше. Надо заметить, что сам Буль, как можно предполагать по некоторым данным, понимал глубокое значение своего исследования. Алгебра, построенная Булем, служила ему для описания операций над множествами и действий над высказываниями. Впоследствии выяснилось, что, следуя Булю, возможно создание аппарата, описывающего свойства важного класса релейных схем, изучаемых в автоматике. Поэтому восходящая к Булю алгебра не должна рассматриваться только как алгебра логики.